Équation de Verhulst : modélisation des évolutions démographiques

Équation de Verhulst : modélisation des évolutions démographiques.

Comment les équations logistiques de Verhulst permettent-elles de modéliser les variations d’une population ?

L’évolution démographique est un sujet récurrent en économie puisque l'effectif des populations est révélateur d’une quantité de facteur travail potentielle.

Les mathématiques sont néanmoins un outil puissant dans la modélisation des variations d’une population, notamment grâce à des travaux faisant intervenir des équations différentielles, qui sont des cas particuliers des équations fonctionnelles : ce sont donc plus précisément des équations dont l'inconnue recherchée est une fonction et faisant intervenir la dérivée de celle-ci. Les deux modèles les plus connus à ce jour sont celui de Malthus et son successeur : l’équation logistique de Verhulst.

Nous verrons en particulier comment l’équation logistique de Verhulst permet de modéliser les variations d’une population, et quel est son lien avec l’économie.

Thomas Malthus, économiste anglais, suppose que la fonction y recherchée (modélisant l’évolution du nombre d’individus en fonction du temps) est solution de l’équation différentielle homogène y’=ay, avec a un réel non nul. Cette fonction est donc de la forme y(x)=keax : ainsi Malthus défend en 1798 l’idée qu’une population croît indéfiniment de façon exponentielle, ne prenant pas en compte les contraintes environnementales. C’est pourquoi Pierre François Verhulst, mathématicien belge, propose en 1840 un nouveau modèle plus complet.

L’équation logistique proposée par Verhulst est la suivante : y’= ay - by2 souvent notée

y’= ay(1-(y/K)), a et k étant strictement positifs et respectant la condition intiale y(0)=y0.Ici, la constante K correspond à la capacité d’accueil, le réel a aux taux de croissance de la population et la fonction y modélise le nombre d’individus en fonction du temps. Il retire donc à l'équation de Malthus ce que l’on appelle des facteurs limitants : en effet, plus une population croît plus elle fait face à des contraintes (place ou quantité de ressources disponible par exemple).

Ne sachant pas résoudre une telle équation à notre niveau, nous admettons qu’une solution est y(x)= K/(1+(K/y0-1)e-ax).

Nous pouvons retrouver cette solution par différentes méthodes. La première consiste à effectuer un changement de variable en faisant intervenir une nouvelle fonction z telle que z=1/y, et la seconde à dériver directement la fonction y déterminée afin de vérifier le résultat obtenu. De plus, l’étude de la fonction obtenue met en évidence que y est d’abord convexe jusqu’à un certain point d’inflexion au-delà duquel elle devient concave, et tend vers K, sa capacité d’accueil. Ainsi, le modèle de Verhulst permet d’anticiper les variations démographiques.

Mais quel est son lien avec l’économie ? En économie, la population constitue un potentiel de facteur travail lorsque les individus sont en âge de travailler (lorsqu’ils ont entre 16 et 64 ans) : les variations démographiques peuvent donc être assimilées à des variations de quantité de facteur travail,

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