Tests généraux / simples

Les probas générales/simples

Définition :

On appelle Probabilité P toute application de l’ensemble des évènements Ω dans l’intervalle [O ;1], tel que P : ε(Ω) -> [0 ;1]

Satisfaisant les propriétés suivantes :

Pour tout A appartenant ε(Ω) -> P(A) ≥ 0

P(Ω) = 1

 A, B appartenant ε(Ω), si A⋂▒B = ∅ alors P(A⋃▒B) = P(A) + P(B)

Variables aléatoires

Variable aléatoire discrète : ne prend que des valeurs discrètes : numériques ou non

N’a pas tout plein de chiffre après la virgule

Variable qualitative (couleur de cheveux, niveau de satisfaction, sexe, type de c/)

Variable quantitative discrète (nb de cas de grippe dans une famille de 5pers, nb de jeune dans une portée…)

Loi de proba : somme des proba = 1

Espérance : C’est la valeur moyenne de X : ∑_(i=1)^n▒〖P(X=xi)*xi= 〗μ

Propriétés : (X et Y, 2 v.a discrètes def sur le même univers)

E(X±Y) = E(X) ± E(Y)

E(aX) = aE(X)

E(a+X) = a + E(X)

Soit Z = X-E(X), E(Z) = E[X-E(X)] = E(X)-E[E(X)] = E(X) – E(X) = 0 -> Lorsque l’espérance est nulle, elle est dîtes centrée.

Variance (mesure de dispersion) :

V(X) = E(X²) – [E(X)]² avec ∑_(i=1)^n▒〖P(X=xi)*xi² 〗

σ^2=V(X)= E[(X-E(X) )^2 ]=∑_(i=1)^n▒〖P(X=xi)[xi-E(X)^2 〗

Propriétés∶

V(X+Y) = V(X) + V(Y) – si X/Y indépendants

V(aX) = a²V(X)

V(a+X) = V(X) car V(a) = 0

Soit Z = X/√(V(X)), on montre que V(Z) = 1 – Dite réduite si la variance = 1

Variable aléatoire continue : peut prendre toute les valeurs dans un intervalle donné

Lois de probas

La loi de Bernoulli

On appelle v. de Bernoulli ou variable indicatrice. Notée B(1,p)

E(X) = p ; V(X) = pq

Loi Binomiale

On appelle variable Binomiale une v.a X correspondant au nombre de succès de la répétition indépendante de n épreuves de Bernoulli :

Loi de proba :

Elle est appelée loi Binomiale, notée B(n,p)

E(X) = np et V(X)= npq

Si X et Y sont 2 v.a indépendantes suivant les lois binomiales rspctvmt de paramètre X~B(n ,p) et Y~(m,p), alors Z = X+Y ~(n+m,p)

Loi de poisson

La loi de poisson est souvent utilisée pour compter l’occurrence d’évènements lorsque ceux-ci se produisent les uns à la suite des autres, de façon aléatoire dans le temps.

Loi de proba :

Loi de poisson P(λ) => E(X) = λ et V(X) = λ

Lorsque le nombre d’épreuves dans une loi binomiale tend vers l’infini et que la proba de succès tend vers 0, une v.a binomiale tend vers la LOI DE POISSON

X~B(n,p) et n≥50 et np≤5 alors X -> P(λ) avec λ = np = E(X)

Loi Géométrique (Pascal)

Une v. géométrique correspond au nombre d’épreuves de Bernoulli nécessaire pour obtenir un succès.

Loi de proba :

E(X) = 1/p et V(X) = q/p²

Loi binomiale négative

Une V. binomiale négative correspond au nombre d’épreuve nécessaire pour obtenir k succès

Loi de proba :

E(X) = k/p et V(X) = k*q/p²

Loi hypergéométrique

N boules dans urne, n boules (les autres noires), X = « nombre de boules blanches parmi les m premières boules tirées »

Loi de prob :

E(X) = nm/N et V(X) = (mn(N-n)(N-m))/(N-1)N²

Probabilités combinatoires

Soit Ω espace fondamentale fini constitué de N évènements élémentaires sur lequel on fait l’hypothèse d’équiprobabilité de réalisation des N évènements élémentaires. On suppose qe tous les évnements élé ont la même chance » de se réaliser. Dans ce cas la probabilité pi d’un évènement élé quelconque ῲi est telle que :

Soit A un évènement quelconque constitué de k évènements élémentaires de on en déduit : P(A) = k/N avec P(A) = …

Cette formule s’énonce souvent comme P(A) = (Nombre de cas favorables)/(Nombre de cas possibles)

Les probas conditionnelles

Conditionnement par un évènement.

Définition : A et B sont deux évènements d’une même expérience aléatoire avec P(A) ≠ 0. La proba conditionnelle de B sachant A, notée PA(B) est définie par PA(B) = (P(A⋂▒〖B)〗)/(P(A))

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