Les propriétés des fonctions élémentaire

FONCTIONS DE REFERENCE

Objectifs: connaître les propriétés des fonctions élémentaires pour pouvoir étudier des fonctions plus

complexes.

I. LES FONCTIONS ELEMENTAIRES

ce sont les touches « fct » de la calculatrice : x² (fct « carré »), x-1 ou1/x (fct « inverse »), (fct « racine »

(carrée)), (+ sin, cos, ln, exp PLUS TARD), ainsi que les fonctions *k et +k où k est une constante

1. la fonction « carré »

tableau de valeurs:

x -3 -2 -1 0 0,5 1 1,5 2 3 10

x² 9 4 1 0 0,25 1 2,25 4 9 100

représentation graphique :

2. la fonction « racine carré »

tableau de valeurs:

x -1 0 0,25 1 2,25 4 9

 x impossible 0 0,5 1 1,5 2 3

représentation graphique :

3. la fonction « inverse » f  x=1x

=x– 1

tableau de valeurs:

x -4 -2 -1 0 0,25 0,5 1 2 4 5

1x

-0,25 -0,5 -1 impossi

ble

4 2 1 0,5 0,25 0,2

représentation graphique :

II SENS DE VARIATION D'UNE FONCTION

1. fonction croissante

définition une fonction f est croissante sur un intervalle I lorsque elle conserve l'ordre sur I.:

pour tous réels a et b de l'intervalle I, si a<b alors f(a) < f(b)

- langage de l'algèbre: si on applique la fonction f à chaque membre d'une inégalité, on obtient une inégalité

de même sens

- langage des fonctions: les images par f sont dans le même ordre que les valeurs de la variable prises dans I

cad:

si des valeurs de la variable prises dans I sont dans l'ordre croissant (respectivement décroissant) alors les

images correspondantes sont dans l'ordre croissant (respectivement décroissant)

- langage graphique: la partie de la courbe (correspondant aux points dont l'abscisse x est dans I ) monte

2. fonction décroissante

définition une fonction f est décroissante sur un intervalle I lorsque f inverse l'ordre sur I.:

pour tous réels a et b de l'intervalle I, si a<b alors f(a) > f(b)

- langage de l'algèbre: si on applique la fonction f à chaque membre d'une inégalité, on obtient une inégalité

de sens contraire

- langage des fonctions:les images par f sont dans l'ordre inverse des valeurs de la variable prises dans I cad:

si des valeurs de la variable prises dans I sont dans l'ordre croissant (respectivement décroissant) alors les

images correspondantes sont dans l'ordre décroissant (respectivement croissant)

- langage graphique: la partie de la courbe (correspondant aux points dont l'abscisse x est dans I ) descend

3. tableau de variation (exemple)

f est croissante sur l'intervalle [-5;-2]

et décroissante sur l'intervalle [-2 ; 4]

III. SENS DE VARIATION DES FONCTIONS ELEMENTAIRES

1. la fonction « carré »

tableau de variations:

x –∞ 0 +∞

x²

0

* La fonction carré est décroissante sur l'intervalle ]–∞ ; 0]

* Si on élève au carré chaque membre d'une inégalité où les membres sont négatifs, on obtient une inégalité de sens contraire

* chez les nombres positifs, les nombres sont dans le même ordre que leurs carrés

* si 0 < a < b alors a² < b²

* La fonction carré est croissante sur l'intervalle [0;+∞[

* Si on élève au carré chaque membre d'une inégalité où les membres sont positifs, on obtient une inégalité de même sens

* chez les nombres négatifs, les nombres sont dans l'ordre inverse de leurs carrés ,

ou encore: plus les nombres (négatifs) sont petits, plus leurs carrés sont grands

* si a < b < 0 alors a² > b²

Pour aller plus loin: démonstration du sens de variation:

*la fonction carré est croissante sur [0 ; + ∞[

démonstration: Soient a et b deux réels strictement positifs, cad dans l'intervalle ]0 ; +∞[, avec ab .

On veut comparer leurs images f a =a² et f b=b² , on va donc étudier le signe de leur différence:

f a – f b=a²−b²=a−b×ab

le premier facteur est négatif: en effet a−b0 car ab ;

le second facteur est positif ab0 car a et b tous deux positifs

ainsi f a – f b est négatif cad f a – f b0 et f(a) < f(b)

On était partis avec a<b , leurs images sont dans le même ordre: a² < b²,

la fonction a conservé l'ordre, elle est donc croissante.

* la fonction carré est

...