Algèbre linéaire

TD n°1 : algèbre linéaire

Exercice 1 : on munit  =  =  + selon les lois suivantes :   =  ;[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

                                                                                                                       = [pic 7][pic 8]

Démontrer que  est un - espace vectoriel ?[pic 9][pic 10]

Solution :

On doit montrer que :

  est un groupe abélien : [pic 11][pic 12]

Montrons que  est un groupe abélien :[pic 13]

Pour tous  appartient à , on a  =  qui appartient à  car la multiplication est une loi interne dans;[pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

- pour tous  appartient à  on a  = ;[pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]

                                                                              =  car la multiplication est commutative dans  ;[pic 24][pic 25]

                                                                              = [pic 26]

Suite à cette démonstration, on peut conclure que la loi ⨁ est commutative ;

Montrons cette fois-ci que la loi ⨁ est associative :

- pour tous  appartient à , on a  = ;[pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]

                                                                                              = ;[pic 31]

                                                                                              =  car la multiplication est associative dans ;[pic 32][pic 33]

                                                                                              = [pic 34]

Suite à cette démonstration, on peut conclure que la loi ⨁ est associative ;

Montrons maintenant qu’il existe un élément neutre dans  pour la loi ⨁ : [pic 35]

Soit  appartient à , on cherche  qui est l’élément neutre, qui appartient à  tel  ⨁  =  ⨁ =  [pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44]

on obtient alors :  ⨁  =  =  donc on peut dire que  =  et qui appartient à [pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51]

Suite à cette démonstration, on peut conclure que la loi  admet un élément neutre dans [pic 52][pic 53]

Montrons que tout élément de  admet un symétrique :[pic 54]

Soit  appartient à , on cherche  qui appartient à  tel que  =  = , [pic 55][pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61]

on obtient alors  =  donc on peut en déduire, que  =  et donc  =  qui appartient à  =  = +[pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67][pic 68][pic 69][pic 70][pic 71]

Suite à cette démonstration, on peut en déduire que tout élément de admet un symétrique[pic 72]

Conclusion : la loi  est associative, admet un élément neutre et tout élément de  admet un élément symétrique dans , donc  est un groupe. Comme  est une loi commutative, alors  est un groupe abélien  [pic 73][pic 74][pic 75][pic 76][pic 77][pic 78]

 la loi externe vérifie :[pic 79]

  appartient à   appartient à  = ;[pic 80][pic 81][pic 82][pic 83][pic 84][pic 85]

Montrons que  appartient à   appartient à  =  [pic 86][pic 87][pic 88][pic 89][pic 90]

Soient appartient à  et  appartient à , on obtient alors : [pic 91][pic 92][pic 93][pic 94]

 =  =  =  =  =   [pic 95][pic 96][pic 97][pic 98][pic 99][pic 100][pic 101]

  appartient à ,  appartient à ,  +  = ;[pic 102][pic 103][pic 104][pic 105][pic 106][pic 107][pic 108][pic 109]

Montrons que  appartient à ,  appartient à ,  +  = [pic 110][pic 111][pic 112][pic 113][pic 114][pic 115][pic 116]

Soient  appartient à  et  appartient à , on obtient alors :  =  =  =  + [pic 117][pic 118][pic 119][pic 120][pic 121][pic 122][pic 123][pic 124][pic 125]

ici + est la loi du groupe , +, il faut faire la distinction entre la loi ⨁ définie dans  et la loi + dans   [pic 126][pic 127][pic 128][pic 129][pic 130]

  appartient à ,  appartient à ,  = ;[pic 131][pic 132][pic 133][pic 134][pic 135][pic 136][pic 137]

Montrons que  appartient à ,  appartient à ,  = [pic 138][pic 139][pic 140][pic 141][pic 142][pic 143]

Soient  appartient à  et  appartient à , on obtient alors :[pic 144][pic 145][pic 146][pic 147]

 =  =  = [pic 148][pic 149][pic 150][pic 151]

 = ;[pic 152][pic 153]

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