Comment peut-ont modéliser une croissance exponentielle ?

Comment peut-ont modéliser une croissance exponentielle ?[pic 1]

« La progression de la science est exponentielle. Elle se nourrit d’elle-même, comme un virus. Chaque nouvelle avancée en annonce une autre. Il a fallu des milliers d’années pour progresser de la roue à l’automobile. Mais, en quelques décennies, elle est passée de la voiture à la fusée spatiale. Le rythme du progrès scientifique se mesure aujourd’hui en semaines. L’homme est incapable de le maîtriser. »

Cette citation est issue de l’œuvre Anges et démons, par l’auteur Dan Brown. Comme nous pouvons l’observer, cet auteur décrit l’évolution de la science à l’aide du terme « exponentielle ». Cependant, nous pouvons nous interroger sur ce terme et nous demander « qu’est-ce que le phénomène de croissance exponentielle ? »

I-Comment les exponentielles expriment une croissance massive :

• Tout d’abord, qu’est-ce qu’une croissance ?

Donc, nous savons qu’une croissance est un phénomène dans lequel la population, ou la quantité étudiée ne cesse d’augmenter. Cependant, plusieurs croissances existent dans le domaine des mathématiques :

-quand une quantité augmente avec le temps, nous sommes bien en situation de croissance. Or cette croissance peut être irrégulière (dessin de courbe irrégulière). [pic 2]

-ensuite, une quantité peut augmenter régulièrement, et de manière constante, dans quel cas on parlera de croissance linéaire, ou de progression arithmétique : il y a bien augmentation mais l’augmentation est toujours égale à elle-même d’une année sur l’autre (courbe linéaire).

[pic 3]

-pour finir, dans le cas d’une croissance exponentielle, non seulement il y a une augmentation mais celle-ci augmente au cours du temps : la croissance est donc de plus en plus rapide (courbe exponentielle).  

[pic 4]

Le terme « exponentiel » est à la base un terme d’origine mathématique, or, il s’est inséré dans notre langage courant.

🡪On peut alors retrouver le terme de « croissance exponentielle », pour décrire la croissance d’une population, ou encore d’un virus, comme avec par exemple le cas du Covid-19, je pense que vous avez déjà entendu durant la pandémie mondiale « ce virus grandit de manière exponentielle », et elle peut être retrouvée dans le mode de calcul des intérêts bancaires.

🡪Donc, une croissance exponentielle dans la vie courante est exprimée par une grande quantité augmentant très vite et durablement pour certaines.

🡪Celle-ci est présente dans notre quotidien, certes, mais comment la modélise-t-on, l’exprime -t-on en maths ?

C’est ici qu’interviennent réellement les mathématiques : on peut modéliser une croissance exponentielle par tout simplement ce que l’on appelle la fonction exponentielle. Cette dernière a plusieurs particularités :

-tout d’abord, cette fonction se note ex, et est une fonction qui est strictement positive, mais aussi strictement croissante.

Ensuite, durant notre classe de première, nous avons défini la fonction exponentielle telle que f’=f, ainsi que f(0)=1.

Pour finir, la fonction exponentielle croît plus vite que n’importe quelle puissance de x, d’où son terme d’ « exponentielle ».

🡪Cette fonction a encore d’autres particularités, mais nous pouvons aussi modéliser une croissance exponentielle à l’aide de l’usage des suites, et plus précisément de la récurrence avec une suite géométrique.

Une suite géométrique est une suite où l'on passe d'un terme à son suivant en multipliant toujours par le même nombre « q » appelé la raison.
[pic 5]

...