Exemple TPE

L’étude de la trajectoire d’une carte étant complexe, nous avons décidés dans un premier temps d’étudier celle d’une sphère.

On peut décomposer l’étude du lancer en plusieurs phases présentées dans l’image ci-dessous.

        [pic 1]

        Galilée démontre que pour des projections effectuées avec le même impeto selon des élévations différentes, la plus grande portée sera obtenue pour une élévation de 45°; toute projection effectuée sous un angle plus grand ou plus petit sera au contraire plus courte.

        Cette affirmation se vérifie de la manière suivante. Dans le cas d'un lancer la force appliquée au départ importe dans la trajectoire. La deuxième loi de Newton nous dit que dans un référentiel galiléen (référentiel où le principe d’inertie est vérifié), la somme vectorielle des forces appliquées à un objet ponctuel est égale au produit de la masse de l'objet par son vecteur accélération. Cela se traduit mathématiquement par la formule :[pic 2]

        Le vecteur F représente l'ensemble des forces vectorielles appliquées sur un objet. À l'aide de cette loi, on peut déterminer le vecteur a représentant l'accélération. Dans notre cas, en ayant le vecteur et t, on peut trouver le vecteur  de coordonnées :[pic 5][pic 3][pic 4]

        α représente ici l'angle de lancer, et V0 la vitesse initiale.En x, sur l'axe horizontal la vitesse est constante au cours du temps ; en z, sur l'axe vertical la vitesse varie au cours du temps.

        Dans un second temps, on peut utiliser ce vecteur pour déterminer une équation qui nous permettra de tracer la courbe représentative du lancer de la carte. On note :

[pic 6]

[pic 7]

        Où O représente l'origine de notre repère et G le centre de gravité de l’objet. On va alors chercher une primitive pour passer de la vitesse à la trajectoire. [pic 8][pic 9]

        On peut alors simplement résoudre ce système, et finir par trouver :[pic 10]

        Le calcul théorique de la supposée trajectoire d’un objet enfin réaliser nous pouvons visualiser en traçant la courbe z de la forme ax²+bx+c, la parabole suivante (k représente l'angle  α).

[pic 11][pic 12][pic 13]

        Avec une vitesse de 4,45 m/s (soit 16,02 km/h), on atteint une distance d'environ 2,02 mètres pour un angle de 45°[pic 14][pic 15]

        Avec un angle inférieur à 45°(ici 40°), la distance atteinte est inférieure.[pic 16]

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