Duc Dumont

Chapitre 4 :  Trigonométrie / Repérage

• Le cercle est orienté dans le sens trigonométrique / positif / direct.

Pour orienter un cercle, on choisit un sens de parcours sur ce cercle.

• Soit  et  deux vecteurs non nuls.[pic 1][pic 2]

Le couple  ) est un angle orienté de vecteurs. [pic 3]

• Les mesures des angles sont en radians…

A savoir :         2∏ rad = 360° ------------ ∏ rad = 180° ------------ ∏/2 rad = 90°

∏/3 rad = 60° ----------- ∏/4 rad = 45° ---------- ∏/6 rad = 30°

• La mesure d’un angle orienté peut s’écrire :    ) =  près[pic 4][pic 5]

• Il faut distinguer l’angle géométrique de l’angle orienté.                                                   ➔ Ils n’ont pas la même unité (degrés pour angle géométrique et radians pour angle orienté) et enfin l’angle géométrique est toujours positif donc égal à ||. [pic 6]

• Parmi toutes les mesures a + 2k ∏ (k appartenant à Z), il en existe une seule qui appartienne à l’intervalle  ]-∏ ; ∏]. C’est la mesure principale de l’angle orienté.

Exemple :   On veut donner la mesure principale de l’angle orienté  .[pic 7]

-6 ∏   <      <  -5 ∏[pic 8]

1. <  6∏  <  ∏[pic 9]

0    <     <  ∏[pic 10]

On ajoute on enlève un multiple de 2∏ pour arriver dans l’intervalle ]-∏ ; ∏].

La mesure principale de cet angle est donc . [pic 11]

•  ) = 0  à 2k ∏ près[pic 12]
•  ) = ∏  à 2k ∏ près   (ce n’est pas -∏, pas mesure d’angle principale)[pic 13]
•  ) =    à 2k ∏ près  (lorsque on va dans le sens positif et que c’est rectangle)[pic 14][pic 15]
•  ) =    à 2k ∏ près (lorsque on va dans le sens négatif et que c’est rectangle) [pic 16][pic 17]

• Si  =   (k appartient à R), c’est-à-dire si  et  sont colinéaires :[pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

() =  0 + 2k ∏ près  (si est supérieur à 0)[pic 22][pic 23]

() =  ∏ + 2k ∏ près  (si  est inférieur à 0) [pic 24][pic 25]

Deux vecteurs sont donc colinéaires lorsque () =  k ∏  (k appartient à Z) [pic 26]

• Soit u, v et w trois vecteurs qui sont non nuls.

() =    () + ( )  toujours à 2k ∏ près. [pic 27][pic 28][pic 29]

• Pour tous les vecteurs  et  non nuls :[pic 30][pic 31]

()  =   - ()   à 2k ∏ près[pic 32][pic 33]

()  =  ∏ + ()  à 2k ∏ près[pic 34][pic 35]

()  =   ∏ + ()  à 2k ∏ près[pic 36][pic 37]

()  =   ()  à 2k ∏ près [pic 38][pic 39]

Les conséquences directes (si est la valeur de () ...) :[pic 40][pic 41]

• ()  =   - à 2k ∏ près[pic 42][pic 43]
• ()  =   ∏ +  à 2k ∏ près[pic 44][pic 45]
• ()  =   ∏ +  à 2k ∏ près[pic 46][pic 47]
• ()  =    à 2k ∏ près [pic 48][pic 49]

• Le cosinus de x noté cos (x) est l’abscisse du point tandis que le sinus de x noté sin (x) est  l’ordonnée du point.

• Quelques propriétés :

-1   ≤  cos x  ≤  1

-1   ≤  sin x  ≤  1

(cos x)² + (sin x)²  =  1

On peut écrire cela comme :  cos² x + sin² x  =  1

cos (x + 2k ∏)  =  cos x

sin (x + 2k ∏)  =  sin x

• Pour tout réel x différent de  + k ∏  alors tan (x)  =  [pic 50][pic 51]

Car en fait, cos ( + k ∏) est égal à 0.[pic 52]

• Formules trigonométriques :

• cos (+x) = -sin x                                                                              sin (+x) = cos x[pic 64][pic 65]
• cos (-x) = sin x                                                                                sin (-x) = cos x[pic 66][pic 67]

• Equations trigonométriques

• cos x  =  cos a

x  =  a + 2k ∏    ou    x  =  -a + 2k ∏

[pic 68][pic 69][pic 70][pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75][pic 76][pic 77][pic 78][pic 79][pic 80][pic 81]

• sin x  =  sin a

x  =  a + 2k ∏    ou    x  =  ∏ - a + 2k ∏[pic 82][pic 83][pic 84][pic 85][pic 86][pic 87][pic 88][pic 89][pic 90][pic 91][pic 92][pic 93][pic 94][pic 95]

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