Physique : mesurer de la masse en apesanteur

exercice 1 : mesure de masse en apesanteur

1.1. Étude préliminaire : le ressort vertical sur Terre système : masse m, supposée ponctuelle référentiel : terrestre, considéré galiléen inventaire des forces : à distance : poids →− P de contact : force de rappel du ressort →− F frottements de l’air et de l’axe contraignant le ressort négligés. FAIRE UN SCHEMA EN PRECISANT LE CAS REPRESENTE (ressort étiré ou comprimé!) 1.(a) →− F = −k(z−`0)→− ez (b) A la position d’équilibre, −→ aM = →− 0 et −→ Feq +→− P = →− 0 d’après le deuxième loi de Newton.On en déduite que zeq = −mg k + `0 (c) [zeq] = L;hmg k i= [mg] [mg]/L = L donc la relation est homogène. 2. D’après la deuxième loi de Newton, m−→ aM = −→ Feq +→− P m ... z = −k(z−`0)−mg : projection suivant (Oz) ¨ z + k m z = k m`0 − mg k  ¨ z + ω2 0z = ω2 0zeq avec ω0 =rk m 3.(a) ˙ z(t) = ω0 (−Asin(ω0t) + B cos(ω0t)) donc les conditions initiales donnent z(0) = `0 = A + zp ˙ z(0) = −v0 = Bω0 La solution particulière évidente de l’équation différentielle est zp = zeq . On a alors A = `0 −zeq = mg k et B = −v0 ω0 (b) La masse autour de sa position d’équilibre donc z(t) = zeq + zm cos(ω0t + ϕ) . Les conditions initiales donnent

z(0) = `0 = zeq + zm cos(ϕ) ˙ z(0) = −v0 = ω0zm sin(ϕ) On a alors zm =s(`0 −zeq)2 + v2 0 ω2 0 zm =smg k 2 + v2 0 ω2 0

1

(c)

`haut = zeq + zm = −

mg k

+ `0 +smg k 2 + v2 0 ω2 0

`bas = zeq −zm = −

mg k

+ `0 −smg k 2 + v2 0 ω2 0 (d) LapériodeTdesoscillationsestlapluspetiteduréeaprèslaquellelesoscillations se reproduisent à l’identique. (e) La période T des oscillations est T = 2πrm k 4. Étude énergétique du système : (a) Ep,el = 1 2 k(z−`0)2 (b) Epp = mgz + cste car l’axe (Oz) est vertical ascendant. On prend la référence des énergies potentielles en O donc Epp = mgz (c) Les frottements sont négligés donc l’énergie mécanique se conserve :

EM =

1 2

m˙ z2 + mgz + 1 2

k(z−`0)2 Cette équation est vérifiée à l’instant initial donc

EM =

1 2

mv2 0 + mg`0 +

1 2

k(`0 −`0)2

EM =

1 2

mv2 0 + mg`0

A l’instant où la masse atteint le point le plus haut de sa trajectoire, sa vitesse s’annule donc

EM = mgzhaut +

1 2

k(zhaut −`0)2

1 2

mv2 0 + mg`0 = mgzhaut +

1 2

k(zhaut −`0)2

z2haut + 2mg k −`0zhaut + `2 0 −

m k

v2 0 −

2mg`0 k

= 0

(d) La deuxième solution correspond à la position la plus basse! (e)

Ep,tot = mgz +

1 2

k(z−`0)2

=

1 2

kz2 + 2mg k −`0z + `2 0

=

1 2

k(z−zeq)2 + `2 0 −z2 eq
= 1 2 k(z−zeq)2 + 1 2 k`2 0 −z2 eq
K = 1 2 k`2 0 −z2 eq
2

1.2. Mesures en apesanteur 1. Dans le cas précédent, la valeur de g n’intervenait pas dans l’expression de la pulsation propre du mouvement. On peut reprendre la mise en équation

...