Histoire des nombres : La numérotation

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1. Un peu d’histoire

1. Règles de construction des numérotations

Les règles de construction des numérotations écrites sont simples :

1. il faut permettre une lecture sans ambiguïté, une même écriture ne devant pas représenter deux nombres différents.
2. Il faut représenter un maximum de nombres avec un minimum de symboles.

1. Les bases

C’est l’usage d’une base qui permettra de répondre au mieux aux contraintes posées.

Au lieu de compter uniquement par unités, on compte "par paquets". La plus fréquente est la base décimale (10), mais on trouve également :

• la base sexagésimale (60), utilisée par les Sumériens et parfois au moyen âge en France,
• la base vicésimale (20), utilisée par les Mayas ou duodécimale (12),
• la base 16 (système hexadécimal), en informatique, facilitant les conversions en base 2 en regroupant des chiffres binaires, 16 étant une puissance de 2 ;
• la quinaire (5), utilisée aussi par les Mayas
• et la binaire (2) utilisé en électronique numérique et informatique.

Chez les Mayas, le moyen le plus simple pour représenter les nombres était un système utilisant, le point valait 1, la barre 5 et un zéro. On les trouve sur le codex de Dresde.

1. La numération indienne de position

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1. Représentation des entiers naturels

1. La notion de base

• Une base (de numération) désigne la valeur dont les puissances successives interviennent dans l’écriture des nombres dans la numération positionnelle.
• En base N, on a donc besoin de N chiffres (digits), de 0 à N − 1.

Par exemple, en base 10, on a besoin de 10 chiffres, de 0 à 9, en base 2, on a besoin de 2 chiffres de 0 et 1, etc.

• Pour les bases supérieures à 10, il faut d’autres chiffres. On aurait pu inventer des symboles  nouveaux.

On convient plutôt d’utiliser les premières lettres de l’alphabet.

Pour la base 16, on utilise les chiffres de 0 à 9 puis A (pour 10), B (pour 11), C (pour 12) ... , F (pour 15)

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1. Bases et notations

• En mathématiques : base en index

Pour n’importe quelle base, on a l’habitude de l’indiquer en indice du nombre.

Par exemple (100111)2 pour le nombre dont le développement en base 2 est 100111, ou encore (172)8 pour le nombre dont le développement en base 8 est 172.

• En informatique : base en préfixe

En plus de cette notation, il en existe d’autres, notamment employées en informatique.

Par exemple sous Python (ou en C, C++, Java) pour indiquer qu’on est en base 2 on ajoute le préfixe 0b et le préfixe 0x pour la base 16 :

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1. Le binaire

1. Vocabulaire

Toute information manipulée par un ordinateur est représentée par des mots composés uniquement de 0 et 1 (les bits). Un octet (byte) est un mot binaire de 8 bits et un quartet = un mot binaire de 4 octets ou 32 bits.

1. Méthode de conversion : de base 10 en base 2

En binaire chaque rang ne peut prendre que deux valeurs (il pouvait en prendre dix en décimal). Donc, dès que le rang atteint sa deuxième - la plus haute - valeur on change de rang. En binaire, un rang commence à 0 et se termine à 1.

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Exercice 2.1 : Compléter le tableau[pic 14][pic 15]

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1. Méthode de conversion : de base 2 en base 10

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1. Exercices

Exercice 2.2[pic 30]

Trouver la représentation en base 10 du nombre 1111 11112.[pic 31]

Exercice 2.3[pic 32]

En base 10, une série de 2 caractères peuvent représenter 100 nombres entiers différents (de 0 à 99).[pic 33]

Sur le même principe combien de nombres entiers naturels peut on représenter avec un nombre n de caractères en binaire ou montrer qu’avec un mot de n bits, on peut représenter les nombres entiers de 0 à 2n − 1.

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