Travaux Dirigés de Probabilité 21 Correction : Loi continue usuelle Exercice 0.1. (Lecture de table)

Travaux Dirigés de Probabilité 21 Correction : Loi continue usuelle Exercice 0.1. (Lecture de table)

1. Soit X une variable normale standard. On a -2 neégatif, donc on doit lire la valeur de Φ(2) P(X < −2) = Φ(−2) = 1−Φ(2) = 1−0,9772 = 0,0228. P(4X ≥−3) = 1−P(4X < −3) = 1−P(X < − 3 4 ) = 1−Φ(−0,75) = 1−(1−Φ(0,75)) = Φ(0,75) = 0,7734 valeur lue dans la table

P(−1 ≤ X ≤ 0.5) = P(X ≤ 0.5)−P(X < −1) = Φ(0,5)−(1−Φ(1)) = Φ(0,5) + Φ(1)−1 = 0,915 + 0,8413−1 = 0,5328 Ici on calcul des fractiles, donc on utilisera la table des fractiles. P(|X| < x) = P(−x < X < x) = P(X < x)−P(X < −x) = Φ(x)−(1−Φ(−x)) = 2Φ(x)−1 = 0,82 On obtient donc, 2Φ(x)−1 = 0,82 ce qui implique Φ(x) = 0,91. En lisant dans la table des fractiles on trouve x = 1,3408. P(X < −y) = Φ(−y) = 0,61 En lisant dans la table des fractiles la valeur correspondant à 0, 61, on trouve 0, 2793. Ainsi −y = 0,2793, donc y = −0,2793. 2. Soit Z une variable aléatoire normale N(m,σ2) telle que P(Z < 2) = 0,0668 et P(Z ≥ 12) = 0,1587. Déterminons d’abord les paramètres m et σ. On a : (P(Z < 2) = P(Z−m σ < 2−m σ ) = 0,0668, P(Z ≥ 12) = P(Z−m σ ≥ 12−m σ ) = 0,1587 Comme la variable Z-m est normale centrée réduite, on obtient (Φ(2−m σ ) = 0,0668, 1−Φ(12−m σ ) = 0,1587 =⇒ (Φ(2−m σ ) = 0,0668, Φ(12−m σ ) = 0,8413 1. Cours : Dr. I. FAYE

TD de Math2221; 2017 − 2018; A.

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Ainsi en lisant dans la table des fractiles (les valeurs à lire ne sont pas directement dans la table mais encadré on peut faire une interpolation linaire ou tout simplement prendre les valeurs supérieures comme ici), on trouve (2−m σ = −1,5,12 −m σ = 1 ce qui donne m = 8 et σ = 4. Déterminons a. Nous avons : m = E(Z) et σ2 = var(Z) donc Z −m suit N(0,1) par conséquentZ−m σ
2 suit une χ2 1. Ainsi P{ω ∈ Ω : (Z(ω)−E(Z))2 < a} = P((Z −m)2 < a) = 0,95 = P Z −m σ 2 < a σ2!= 0,95 = PY < a σ2= 0,95 avec Y suit χ2 1 En lisant dans la table de la loi du khi-deux, on trouve : χ2 1,0.95 = 3,84. Donc a σ2 = 3,84 ce qui donne a = σ2 ×3,84 = 16×3,84 = 61,44 3. Soit X ∼ γ(5.5,1). Calculer x tel que P(X < x) = 0,90. Rappelons que si X ∼ γ(r,θ) alors 2θX ∼ χ2 2r. Donc ici 2X ∼ χ2 11 et ona : P(X < x) = P(2X < 2x) = P(Y < 2x) = 0,90 avec Y = Y = 2X ∼ χ2 11 En lisant dans la table du Khi-deux, on trouve 2x = χ2 11,0.90 = 17,3 Donc x = 8,65 4. Soit T ∼ t20. Calculer u tel que P(|T|≤√u) = 0,975. Rappelons que si T ∼ tn alors T2 ∼ F1,n. Donc ici T2 ∼ F1,20 et on a : P(|T|≤√u) = P(T2 ≤ u) = 0,975 En lisant dans la table de Fisher, on trouve u = F1,20,0.975 = 5,87. Exercice 0.2. Soit X une v.a. uniforme sur [0,1], sa fonction de répartition est : FX(x) =     0 si x ≤ 0 x si x ∈]0,1[ 1 si x ≥ 1 Déterminons la loi de la v.a. Y = exp(λX) si λ > 0. P(Y < y) = P(exp(λX) < y) = P(log(exp(λX)) < log(y)) = P(λX < log(y)) = P(X < 1 λ log(y)) = FX( 1 λ log(y)) si 1 λ log(y) ∈]0,1[ Ainsi on a FY (x) =     0 si y ≤ 1 1 λ log(y) si y ∈]1,eλ[ 1 si y ≥ eλ En dérivant, on trouve la densité de Y.

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Exercice 0.3. 1. On a

FX(x) =(1−exp(−xc θ ) si x > 0 0 si x ≤ 0 Donc pour obtenir la densité, il nous suffit de dériver FX pour se retrouver avec : fX(x) =1−exp(−xc θ )0 = −(−c xc−1 θ )exp(− xc θ ) = 1 θ exp(− 1 θ x) lorsque c=1 2. Dans la question pécédente nous avons que X ∼E(1 θ). Rappelons que si X ∼E(1 θ) alors X ∼ γ(1, 1 θ). Et d’après le théorème 4.2 du cours nous savons que si X ∼ γ(r,λ) alors Y = βX (β > 0) suit la loi γ(r, λ β) Dans notre cas Y = 2 θX va suivre la loi γ(1, 1 θ 2 θ ) = γ(1, 1 2) = γ(2 2, 1 2) Ainsi Y ∼ χ2 2 Exercice 0.4. On considère un échantillon de taille n, X1,X2,...,Xn extrait d’une v.a. X de densité f(x) = θ 2 e−θ|x| ∀x ∈R,θ > 0 1. Montrer que la v.a. Y = θ|X| suit une loi exponentielle dont on donnera le paramètre. Nous allons passer par la détermination de la fonction de répartition de Y. On a : FY (y) = P(θ|X| < y) = P(|X| < y θ ) = P(− y θ < X < y θ ) = P(X < y θ )−P(X < − y θ ) = FX( y θ )−FX(− y θ ) comme la densité s’obtient en dérivant la fonction de répartition, la densité de Y sera alors g(y) = F0 X( y θ )−F0 X(− y θ )

=

1 θ

f(

y θ

)−−1 θ

f(−

y θ

)= 1 θ

(

θ 2

e−θ|y θ|) + 1 θ

(

θ 2

e−θ|−y θ |)

= (

1 2

e−|y|) + (1 2

e−|y|) car |−y| = |−1×y| = |−1|×|y| = |y| = e−|y| donc Y suit la loi exponentielle de paramètre λ = 1 2. Déterminer la loi de la variable aléatoire S =Pn i=1 θ|Xi|Nous puvons constater que S =Pn i=1 θ|Xi| =Pn i=1 Yi. D’après la question 1), S est une somme de n v.a indépendantes de loi exponentielle de paramètre 1, donc une somme de n v.a indépendantes

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