Suite bac type

(Un) est la suite définie sur N par U0 = 5 et pour tout entier naturel n, Un+1 = 1/2 x Un + 4

1 ) Calculez les termes suivants : U1, U2, U3

U1 = 1/2 x 5 + 4 U2 = 1/2 x 6,5 + 4 U3 = 1/2 x 7,25 + 4 U4 = 1/2 x 7,625 + 4

= 6, 5 = 7,25 = 7,625 = 125/16

2) On pose pour tout n appartient N Vn= Un - 8

a) Montrer que la suite Vn est géométrique de raison 1/2 et calculez son premier terme

Vn = Un - 8

Vn+1 = (Un+1) - 8

Vn+1 = 1/2 x Un + 4 - 8

Vn+1 = 1/2 x Un - 4

OR on sait que Vn = Un - 8 donc Un = Vn +8

Vn+1 = 1/2 x (Vn+8) - 4

Vn+1 = 1/2 x Vn + 4 - 4

Vn +1 = 1/2 x Vn

Donc la suite Vn est géométrique de raison 1/2 et de premier terme -3 car

V0 = U0 + 8

V0 = 5 + 8

V0 = -3

b) Exprimer Vn en fonction de n

Vn = V0 x Q^n

Vn = -3 x 1/2^n

3) a) Exprimer Un en fonction de n

Un = Vn +8 donc Vn = Un + 8 alors,

Vn = -3 x 1/2^n + 8

4) Déterminer la limite de la suite (Un)

1/2 = 0

x -3 = 0

+8 = 8

donc LIM 1/2^n = 8

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