Quotient et proportionnalité

Quotient et proportionnalité

I_ Proportionnalité 

1) Définition

Un tableau traduit une situation de proportionnalité lorsqu’on passe d’une ligne à l’autre en multipliant ou en divisant par un même nombre non nul.

Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité.

2) Remarque

Dans une situation de proportionnalité, la relation est déterminée par un couple de valeur correspondante non nul.

Exemple

/Masse des cerises (en kg) /     2     /     6      /     3,2       /

x 1/5                                                                                        x 5

/Prix                                  /     10   /    30      /      16      /

Le couple de valeurs (5 ; 1/5) décrit cette situation de proportionnalité.

- Propriété

Lorsque dans deux colonnes d’un tableau de proportionnalité on connaît trois nombres, alors il est toujours possible de calculer le 4ème

On dit alors que l’on calcule la quatrième proportionnelle.

Exemple

Reprenons l’exemple précédent

/Masse des cerises (en kg) /     2     /     7,4     /

x 1/5                                                                                x 5

/Prix                                  /     10   /    37      /

Méthode

. On commence par déterminer le coefficient de proportionnalité « k ». D’après ce qui précède k=5

. Pour déterminer la quatrième proportionnelle, il suffit de multiplier 7,4 par k

Soit, 7,4x5 = 37

3) Quatrième proportionnelle et produits en croix égaux

Pour déterminer la quatrième proportionnelle dans une situation de proportionnalité, on peut aussi utiliser la propriété des produits en croix égaux.

-Propriété

. Soit a ; b ; c et d

Quatre nombres tel que b différent de 0 et d différent de 0

A        C

--   =    ---     alors a x d   = b x c

B        D

                                A        C

. SI a x d = b x c alors         --   =    ---

                                B        D

-Propriétés

. Dans un tableau de proportionnalité, il y a égalité des produits en croix

. Réciproquement, si tous les produits en croix d’un tableau sont égaux alors il s’agit d’un tableau de proportionnalité.

Exemple :

Voici un tableau de proportionnalité

/ Nombres de baguettes   /       5           /       2       /

/ Prix (en €)                           /      4,25       /       X       /

Le tableau représente une situation de proportionnalité, il y a donc égalité des produits en croix.

Autrement dit :

        5                2

Si,        ---      =         ---                Alors

          4,25                 x

5 x X = 4,25 x 2

Soit,      5X   =   8,5

                8,5

        X =        -----

                   5

  __________

/X =   1,7/

-----------

II_ Application 

1. Les pourcentages

Un pourcentage est un coefficient de proportionnalité de dénominateurs 100.

Ainsi, si p est un nombre donné, alors pour calculer p% d’un nombre on doit multiplier

                        P

Ce nombre par :       -----

                            100

Exemple :

Dans un collège 80% des élèves sont demi-pensionnaires et parmi c’est demi-pensionnaires, 35% sont des filles. Ce collège compte 450 élèves en tout.

1) Quel est le nombre de demi-pensionnaires dans ce collège ?

2) Quel est le nombre de filles demi-pensionnaires ?

3) On sait que parmi les élèves 65 ont déclaré souffrir d’une allergie alimentaire particulière. Quel pourcentage du nombre total de demi-pensionnaires représentent-il ?

              80

1)  450 x _____      = 450 x 0,8

             100

              80

       450 x _____      = 360

             100

Il y a 360 demi-pensionnaires dans le collège

              35

2)  360 x _____      = 360 x 0,35 = 126

             100

Il y a 126 filles demi-pensionnaires dans le collège.

On sait que cette situation représente une situation de proportionnalité.

...