Peut-on vraiment compter sur le hasard ?

Peut-on vraiment compter sur le hasard ?

Introduction

        Avant le passage de l’épreuve de mathématique du bac, nous savions qu’il était probable qu’un exercice sous forme de QCM soit présent dans le sujet, grâce au sujet de Polynésie qui avait eu lieu quelques jours avant. Certains de mes camarades et d’autres personnes que j’ai pu voir à travers les réseaux sociaux expliquaient qu’ils allaient surement répondre au hasard à cet éventuel QCM, si celui-ci se trouvait trop compliqué. Je me suis donc posé la question suivante : Peut-on vraiment compter sur le hasard ?

        Dans un premier temps, nous allons voir grâce à des calculs de probabilité la chance d’obtenir plus de la moitié des points à ce QCM, puis nous allons calculer la probabilité d’avoir la totalité des points en répondant au hasard.

        Dans un second temps, nous prendrons l’exemple du jeu du loto, un des plus célèbres jeux de hasard, et nous calculerons la probabilité d’obtenir le gros lot.

Première partie

        Tout d’abord, je vais vous parler du QCM présent dans le sujet de mathématiques du bac de cette année. Le QCM était composé de 7 questions. Pour chaque questions, 4 réponses étaient possibles mais seulement une était la bonne. Chaque réponse à deux issues : un succès si elle est valide et un échec si elle est fausse. Cette situation correspond à une répétition d’épreuves de Bernoulli car les questions sont uniques et indépendantes.

        On comprend la variable X qui compte le nombre de succès, c’est-à-dire le nombre de bonne réponse, suivant la loi binomiale de paramètre n = 7 et p = ¼. La lettre « n » correspond au nombre d’épreuves de Bernoulli, ici 7 car il y a 7 questions. La lettre « p » correspond à la probabilité du succès, ici ¼ car pour une question il y a 1 seule réponse de bonne parmi les 4 valides.

        Pour obtenir plus de la moitié des points au QCM il faut donc répondre correctement à 4 questions parmi les 7. Je vais donc calculer la probabilité d’obtenir 4 réponses valides sur 7, grâce à la formule de probabilité : [P(X)=k] =

Ici X=4 car je souhaite 4 succès parmi 7.

On remplace maintenant les lettres par les valeurs :

Ensuite on multiplie par 100 pour avoir un pourcentage. Il y a 5.7% de chances, en répondant aux questions au hasard, d’obtenir un peu plus de la moitié des points.

        Maintenant je vais calculer de la même manière la probabilité d’avoir la totalité des points au QCM, soit 7 réponses de bonnes. J’utilise donc la même formule mais cette fois X est égale à 7.

[P(X)=7] =

On multiplie une nouvelle fois par 100

La probabilité d’avoir la totalité des points au QCM est de 0.06%

Deuxième partie

        Je vais prendre comme deuxième exemple, le jeu du loto. C’est un jeu de hasard très ancien que l’on connaît tous mais je vais rappeler le principe. Une grille de loto comporte deux parties. Sur la première partie, il y a 49 numéros parmi lesquels il faut en choisir 5. Sur l’autre partie, il faut choisir un numéro spécial parmi 10 numéros.

On commence donc par choisir 5 numéros parmi 49. Puis on calcule, la probabilité que les 5 numéros que l’on a choisis soit tiré sort. Grâce à la formule de probabilité, on trouve qu’il y a 1 chances sur 1 906 884 d’avoir choisi les bons numéros.  Puis on choisit un numéro spécial parmi 10, il y a donc 10 choix possibles de numéros spéciaux. En multipliant, les deux résultats, on obtient 19 068 840 choix différents possibles. Il y a donc une chance sur un peu plus de 19 millions d’obtenir le gros lot.

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