Lois continues de probabilité

Lois continues de probabilité

Exercices d'introduction

Exercice 1: Loi uniforme sur [ 0 ; 1 ]

On choisit au hasard un nombre réel dans l'intervalle [ 0 ; 1 ].

Le but du problème est de créer une loi de probabilité sur [ 0 ; 1 ] capable de modéliser ce choix.

A) Choix de l'univers

        Quel univers Ω se trouve naturellement associé à cette expérience ?

        En quoi se distingue-t-il des univers déjà rencontrés ?

B) Probabilité d'un réel

        Lorsque Ω est un ensemble fini {al, a2, ..., an}, pour définir une loi de probabilité sur Ω, il suffit de connaître les probabilités de tous les événements élémentaires, c'est à dire les réels p({a1}), p({a2}),  ..., p({an}), tous positifs ou nuls et de somme l. Voyons si cette approche « point par point » est généralisable ici.

        1) Conjectures : lequel des événements paraît le plus probable :

                « obtenir 0 »  ,  « obtenir [pic 1] »  ,  « obtenir [pic 2] »  ou  « obtenir π » ?

Quelles probabilités pourrait-on leur associer ?

        2) Un raisonnement par l'absurde :

Les issues devant être équiprobables, on pose, pour tout x∈[ 0 ; 1 ] , p({x})  = k avec k réel fixé.

De façon évidente, k est soit nul, soit non nul ! Supposons que l'on ait: k ≠ 0.

Pour n∈*, on considère l'événement En = {[pic 3], [pic 4] , ..., [pic 5] }.

Exprimer p(En) en fonction de k et de n, et montrer que pour n suffisamment grand, on a p(En) > l.

Que peut-on en déduire pour k ?

        3) Bilan:

p étant une loi de probabilité modélisant le choix au hasard d'un réel dans [ 0 ; 1 ] , donner p({x})

                a) lorsque x∈[ 0 ; 1].

                b) lorsque x∉[ 0 ; 1].

Peut-on envisager de définir p en se donnant p({x}) pour tout réel x∈[ 0 ; 1 ] ?

C) Probabilité d'un intervalle

        1) Conjectures :

On admet que les réels sont uniformément répartis dans l'intervalle [ 0 ; 1] .

Quelle probabilité serait-il naturel d'associer à l'événement « obtenir un réel inférieur ou égal à [pic 6] » ?

Que pourraient valoir de même : [pic 7], [pic 8], p( [ 0,45 ; 0,55 ] ) et p( [ 3 ; 4 ] ) ?

        2) Construction de la probabilité p :

On généralise les résultats intuitifs précédents en convenant que la probabilité d'un intervalle [ a ; b ] inclus dans [ 0 ; 1 ] est proportionnelle à sa longueur b − a.

En prenant α∈] 0 ; 1 [ et β∈] 0 ; 1 [ , calculer: p([ α ; β ]) , p([ α ; β [ ) , p(] −∞ ; α ]) et p([ β ; +∞ [) .

D) Notion de densité de probabilité

        D'après les parties B) et C), la probabilité d'obtenir [pic 9] et celle d'obtenir π sont nulles. Pourtant, la probabilité d'obtenir un nombre voisin de [pic 10] (par exemple compris entre 0,45 et 0,55) n'est pas nulle, alors que celle d'obtenir un nombre voisin de π (par exemple compris entre 3 et 4) l'est !

On dira qu'il existe:

        des réels affectés d'une densité de probabilité nulle: ceux qui sont en dehors de [ 0 ; 1 ]

        des réels affectés d'une densité de probabilité non nulle: ceux de [ 0 ; 1 ] .

Soit f la fonction en escalier définie sur  par:  f(x) = 1 si x ∈[ 0 ; 1 ]  et  f(x) = 0 si x∉[ 0 ; 1 ] .

        1) Quelle est, en unités d'aire, l'aire du domaine plan situé entre l'axe des abscisses et la courbe représentative de f  ? Exprimer cette aire à l'aide d'une intégrale.

        2) Comparer la probabilité p([ α ; β ]) d'un intervalle [ α ; β ] ⊂ [ 0 ; 1 ] et l'aire (en unités d'aire) du domaine plan délimité par la courbe de la fonction f, les droites d'équation x = α , x = β et l'axe des abscisses.

Exprimer cette aire à l'aide d'une intégrale.

Pour α∈] 0 ; 1 [ et β∈] 0 ; 1 [ , faire de même avec les intervalles: ] −∞ ; α ] et [ β ; +∞ [.

        3) Conclure en complétant la phrase:

Le choix au hasard d'un réel dans [ 0 ; 1 ] se modélise par la loi de probabilité p qui associe à tout intervalle

[ α ; β ] ⊂ [ 0 ; 1 ] , le réel p([ α ; β ]) = [pic 11]       dx     où f est la fonction constante égale à 1 sur [ 0 ; 1 ].

Exercice 2: Introduction à la notion de densité d'une loi de probabilité

On choisit au hasard, indépendamment, deux nombres réels x et y dans l'intervalle [ 0 ; 1 ].

Soit S la variable aléatoire associant au couple (x;y) la somme x + y.

        1) Quel est l'univers Ω naturellement associé à cette expérience ? A quel ensemble appartiennent les images des couples ( x ; y ) de Ω par la variable aléatoire S (On peut noter S (Ω) cet ensemble) ?

Rappel : Lorsque Ω est un ensemble fini {al, a2, ..., an}, pour définir la loi de probabilité d'une variable aléatoire X sur Ω, il suffit de connaître les probabilités de tous les événements élémentaires de cette variable aléatoire , c'est à dire les réels p(X=k1) , p(X=k2) ,  ..., p(X=km) , tous positifs et de somme l , où les réels k1 , k2 , ..., km sont les m valeurs prises par cette variable aléatoire X .

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