Limites de suites réelles
Cours : Limites de suites réelles. Recherche parmi 300 000+ dissertationsPar moscillo74 • 24 Mars 2016 • Cours • 721 Mots (3 Pages) • 916 Vues
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Moscillo Mathilda
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Limites de suites réelles
Niveau : Lycée
Prérequis : généralités sur les suites : monotonie, suites majorées, suites minorées, suites arithmétiques, suites géométriques
- Notion de limite infinie d’une suite
- Définition de la limite infinie d’une suite :
- Dire qu’une suite (Un)n∈N a pour limite +∞ quand n tend vers +∞ signifie que tout intervalle de la forme ]A ; +∞[ (avec A réel) contient tous les termes Un à partir d’un certain rang.
On note : [pic 1]
- De manière analogue, dire qu’une suite (Un)n∈N a pour limite −∞ quand n tend vers +∞ signifie que tout intervalle de la forme ]-∞ ;A[ (avec A réel) contient tous les termes Un à partir d’un certain rang.
On note : [pic 2]
- Propriétés / exemples
- Limites des suites de référence[pic 3]
- Limites et opposés
[pic 4]
- Limites finies - Suites convergentes
- Définition : Dire qu’une suite (Un)n∈N a pour limite le nombre réel L quand n tend vers +∞ signifie que tout intervalle ouvert contenant L contient tous les termes Un à partir d’un certain rang. On dit que la suite (Un)n∈N converge vers L.
On note : [pic 5]
- Propriétés :
- Si une suite (Un) a une limite finie L, alors la limite L est unique.
- Dire qu’une suite (Un) tend vers un nombre L équivaut à dire que la suite (un -L) tend vers 0.
- Limites de suites de référence
[pic 6]
- Suites divergentes
- Définition : On appelle suite divergente une suite qui ne converge pas.
- Remarque : Si une suite diverge alors, soit la suite a une limite égale à +∞, soit la suite a une limite égale à −∞, soit la suite n’a pas de limite.
- Limites et opérations algébriques
- Limite d’une somme de suites (propriétés admises)
[pic 7]
- Limite d’un produit de suites (propriétés admises)
[pic 8]
- Limite de l’inverse d’une suite (propriétés admises)
[pic 9]
- Remarque : Dans les cas notés « form ind. » (forme indéterminée), on ne peut pas conclure immédiatement et tout résultat est possible. Dans ce cas il faut lever l’indétermination en changeant l’écriture.
Exemples
[pic 10]
- Limites et comparaison
- Théorème de comparaison : limite infinie
Propriété :
[pic 11]
Démonstration :
Si [pic 12]alors tout intervalle ]A ; +∞[ (avec A nombre réel) contient tous les Un à partir d’un certain rang no. Ainsi pour tout n>no, Un>A.
D’après l’hypothèse, pour n>n1, Vn>Un. Donc si on note N le plus grand des rangs no et n1, alors pour tout n>N, Vn>Un>A.
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