Limites de suites réelles

Moscillo Mathilda

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Limites de suites réelles

Niveau : Lycée

Prérequis : généralités sur les suites : monotonie, suites majorées, suites minorées, suites arithmétiques, suites géométriques

1. Notion de limite infinie d’une suite

1. Définition de la limite infinie d’une suite :

• Dire qu’une suite (Un)n∈N a pour limite  +∞ quand n tend vers  +∞ signifie que tout intervalle de la forme ]A ; +∞[ (avec A réel) contient tous les termes Un à partir d’un certain rang.

On note :       [pic 1]

• De manière analogue, dire qu’une suite (Un)n∈N a pour limite  −∞ quand n tend vers  +∞ signifie que tout intervalle de la forme ]-∞ ;A[ (avec A réel) contient tous les termes Un à partir d’un certain rang.

On note :       [pic 2]

1. Propriétés / exemples

• Limites des suites de référence[pic 3]

• Limites et opposés

[pic 4]

1. Limites finies - Suites convergentes

1. Définition : Dire qu’une suite (Un)n∈N a pour limite le nombre réel L quand n tend vers  +∞ signifie que tout intervalle ouvert contenant L contient tous les termes Un à partir d’un certain rang. On dit que la suite (Un)n∈N converge vers L.

On note :     [pic 5]

1. Propriétés :

•  Si une suite (Un) a une limite finie L, alors la limite L est unique.

• Dire qu’une suite (Un) tend vers un nombre L équivaut à dire que la suite      (un -L) tend vers 0.

• Limites de suites de référence

          [pic 6]

1. Suites divergentes

1. Définition : On appelle suite divergente une suite qui ne converge pas.

1. Remarque : Si une suite diverge alors, soit la suite a une limite égale à +∞, soit la suite a une limite égale à −∞, soit la suite n’a pas de limite.

1. Limites et opérations algébriques

1. Limite d’une somme de suites (propriétés admises)

[pic 7]

1. Limite d’un produit de suites (propriétés admises)

[pic 8]

1. Limite de l’inverse d’une suite (propriétés admises)

[pic 9]

• Remarque : Dans les cas notés « form ind. » (forme indéterminée), on ne peut pas conclure immédiatement et tout résultat est possible. Dans ce cas il faut lever l’indétermination en changeant l’écriture.

Exemples

[pic 10]

1. Limites et comparaison

1. Théorème de comparaison : limite infinie

Propriété :

[pic 11]

Démonstration :

Si [pic 12]alors tout intervalle ]A ; +∞[ (avec A nombre réel) contient tous les Un à partir d’un certain rang no. Ainsi pour tout n>no, Un>A.

D’après l’hypothèse, pour n>n1, Vn>Un. Donc si on note N le plus grand des rangs no et n1, alors pour tout n>N, Vn>Un>A.

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