Le paradoxe d’Achille et la tortue

Le paradoxe d’Achille et la tortue

I°)Histoire

1) Présentation du personnage

Zénon d’Elee est un philosophe grec. Principale disciple de Parmenides il vécu à Elee ville située au sud de l’Italie .Sa vie reste très mal connue. Il ne laissera derrière lui que ses célèbres Paradoxes appelés « Paradoxe de Zénon » qui sont: la dichotomie, la flèche ,les rangées en mouvement et celui que nous allons voir aujourd’hui le paradoxe d’Achille et la tortue.

II°)Argument énoncé par Zénon

1) Théorie

- D’après Zénon d’Elée Achille un Hero grec a disputé une course à pied avec une tortue. Comme Achille était réputée pour être un coureur très rapide il avait accordé 100 mètres au reptile.

Selon lui peut importe sa vitesse Achille ne pourra jamais rattraper la tortue

- En effet, supposons pour simplifier le raisonnement que chaque concurrent court à vitesse constante, l'un très rapidement, et l'autre très lentement ; au bout d'un certain temps, Achille aura comblé ses cent mètres de retard et atteint le point de départ de la tortue ; mais pendant ce temps, la tortue aura parcouru une certaine distance, certes beaucoup plus courte, mais non nulle, disons un mètre. Cela demandera alors à Achille un temps supplémentaire pour parcourir cette distance, pendant lequel la tortue avancera encore plus loin ; et puis une autre durée avant d'atteindre ce troisième point, alors que la tortue aura encore progressé. Ainsi, toutes les fois qu'Achille atteint l'endroit où la tortue se trouvait, elle se retrouve encore plus loin. Par conséquent, le rapide Achille n'a jamais pu et ne pourra jamais rattraper la tortue.

2) Schémas explicatifs

III°)Résolution du paradoxe

1)Histoire

- Au XX° siècle le théorème sera finalement résolu

- Pour simplifier la résolution, on choisit arbitrairement les valeurs suivantes : Achille se déplace à 10 m/s (proche du record du monde du 100 mètres au xxe siècle), la tortue à 5 m/s (peu vraisemblable mais rend le graphique plus lisible) et la tortue a 100 mètres d'avance sur Achille.

Dans le paradoxe de Zénon, on calcule la durée de l'événement « Achille rattrape la tortue » en additionnant tous les événements de type « Achille parcourt la distance jusqu'à la position actuelle de la tortue ». Or, ces durées sont de plus en plus petites, mais jamais égales à zéro, et leur nombre est infini.

2)Résolution

- L'erreur mathématique était de dire « donc Achille ne rattrape jamais la tortue », car l'analyse moderne démontre qu'une série infinie de nombres strictement positifs peut converger vers un résultat fini.

Avec les vitesses 10 m/s pour Achille et 5 m/s pour la tortue qui a 100 m d'avance, la première étape prend 10 secondes, la suivante 5 secondes, etc. On obtient la série suivante : T = 10 + 5 + 2,5 + 1,25 + …

On peut résumé cette série

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