La fonction ln

LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

I-DEFINITION

Il existe un ensemble contenant IIR

et un nombre imaginaire i tel que i²=-1 dans le quel s'étend les propriétés de l'addition et de la multiplication dans IIR.

Cet ensemble se note C et d'appel ensemble des nombre complexes

On a IIN c Z c IID c Q c IIR c C

Tout nombre complexe z s'écrit de manière unique sous la forme z= x+iy où x et y sont des nombres réels et i est le nombre imaginaire

Cette écriture de z d'appel la forme algébrique de z avec x la partie réel et z la partie imaginaire

II-FORME ALGÉBRIQUE D'UN NOMBRE COMPLEXE

A-PROPRIETE

a , b , a' et b' sont des nombres réels

a+ib = a'+ib' équivaut a=a' et b=b'

a+ib = 0 équivaut a = 0 et b = 0

B-DEFINITION ET PROPRIETE

On appel forme algébrique du nombre complexe z l'ecriture : a+ib (avec a et b € IIR )

a est appelé la partie telle de z et est notée Re(z)

b est appelé la partie imaginaire de z et est notée Im(z)

z € IIR équivaut Im(z) = 0

z € iIIR équivaut Re(z) = 0

III- CALCUL DANS C

A-SOMME, PRODUIT ET INVERSE DE NOMBRES DE COMPLEXES

Pour tour nombres complexes de forme algébrique a+ib et a'+ib'

(a+ib)(a'+ib') = (a+a')+i(b+b')

(a+ib)(a'+ib') = aa'-bb'+i(a'b+b'a)

1/a+ib = a-ib/a²+b²

PRODUIT NUL

Pour tout nombres complexes z et z'

z×z'=o équivaut z=0 ou z'=0

B-PUISSANCE ENTIERE D'UK NOMBRE COMPLEXE

Définition et propriétés

Z étant un nombre complexe non nul , n un nombre entier naturel non nul

Zº = 1

0ⁿ = 0

zⁿ±¹ = zⁿ×z

Pour tous nombres complexes entiers naturels n

i⁴ⁿ = 1

i⁴ⁿ±¹ = i⁴ⁿ×i = i

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