LES PROBABILITES AU LYCEE

BERTHELET Julie[pic 1]

CLOS Charlotte

L3 Mathématiques

LES PROBABILITES AU LYCEE

[pic 2]

Année 2018-2019

SOMMAIRE

1. Notions d’événements

1. Seconde

1. Vocabulaire propre aux probabilités
2. Lien entre l'union et l'intersection
3. Dénombrement à l'aide de tableau et d'arbre

1. Première

1. Terminale

1. Les probabilité conditionnelles
2. Arbre de probabilités
3. Indépendance de deux événements

1. Variables aléatoires

1. Première

1. Définition générale, espérance et variance
2. Loi de Bernoulli et loi binomiale

1. Terminale

1. Variable aléatoire à densité
2. Différentes lois

1. NOTION D'EVENEMENTS

        1) Seconde

En classe de seconde, les sujets abordés sont :

  a.  Le vocabulaire propre aux probabilités, nouveau pour les élèves :

• Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard.

• L’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire est appelé l’univers de cette expérience. Il est généralement noté Ω.

• Un événement est une partie de l’univers Ω. Il représente un ensemble d’issues d’une expérience aléatoire.

• Un événement élémentaire est une partie de l’univers Ω qui ne contient qu’une seule issue.

• La probabilité d’un événement A est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent. Elle est généralement notée P(A).

Propriétés d'une probabilité :

        - Pour tout événement A,.[pic 3]

        - P(A) =[pic 4]

        - Pour l'ensemble qui ne contient aucun élément, appelé ensemble vide et                   noté  , on convient que P() = 0. [pic 5][pic 6]

        - La probabilité de l'événement certain vaut 1 c'est à dire P(Ω) = 1 .

• L’événement complémentaire de l’événement A est l’événement contraire de A. Il est généralement noté Ā.

Pour tout événement A, P(A) + P( Ā ) = 1, soit P(A) = 1 - P( Ā ).

• L’union de deux événements A et B correspond à l’événement A ou l’événement B, les issues sont dans A ou dans B. Il est généralement noté .[pic 7]

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• L’intersection de deux événements A et B correspond à l’événement A et l’événement B, les issus sont dans A et dans B. Il est généralement noté .[pic 9]

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  b) Le lien entre l'union et l'intersection de deux événements :

                [pic 11]

• Pour tout événement A et B, on a :  P() + P() = P(A) + P(B)[pic 12][pic 13]

• Si , alors les deux événements sont dits incompatibles et l'égalité devient : [pic 14][pic 15]

[pic 16]

  c) Le dénombrement à l’aide de tableaux et d’arbres :

• Arbre de probabilité

Prenons un exemple : Une urne contient 15 jetons rouges et 5 jetons bleus. 20% des jetons rouges sont gagnants et 40% des jetons bleus sont gagnants. Un joueur tire au hasard un jeton de l’urne. On note :

* R l’événement “Le jeton est rouge”.                                
* B l’événement “Le jeton est bleu”.                                        
* G l’événement “Le jeton est gagnant.                                                              [pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 17]

On représente cette situation à l'aide d'un arbre : [pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]

On le complète en calculant les probabilités, et en                                  [pic 30][pic 31]

utilisant le fait que P(A) + P(Ā) = 1.                                         [pic 32]

                                                                                [pic 34][pic 33]

• Tableau

Par exemple, on lance 2 dés équilibrés simultanément et on fait la somme des deux faces.
On obtient le tableau suivant :

...