FONCTIONS SINUS ET COSINUS

FONCTIONS SINUS ET COSINUS

La fonction cosinus(abscisse) est la fonction définie sur ℝ par 𝑥→cos(𝑥)

La fonction sinus (ordonne)est la fonction définie sur ℝ par 𝑥→sin(𝑥)

cos(a-b)=cos a*cos b +sin a*sin b ou cos(a+b)=cos a*cos b-sin a*sin b[pic 1]

Sin(-x)=sin(x)

Sin((+x)=sin(x)[pic 2]

[pic 3]

1-sinus :On dit que la fonction sin est impair la courbe représentative la fonction sin est symétrique par rapport 0 l’origine o

Sin(x+2k)=sin(x) on dit que les fonction sinus est périodiques de période 2[pic 4][pic 5]

[pic 6]

2-cosinus : On dit que la fonction cos est pair la courbe représentative la fonction cos est symétrique par rapport l’ordonne

cos(x+2kπ)=cos(x)on dit que les fonction cos est périodiques de période 2π

Cos’(x)=-sin(x)

Cos’(0)=0

Cos([pic 7]

Cos(-x)=cos(x)

[pic 8]

Méthode sin et cos

-Pour résoudre une équation ou inéquation :

Se servir du cercle trigonométrique et pour l’inéquation donne des réels

-se servir des propriétés de sinus et cosinus :

Pour donner valeur de cos(t)ou sin(t) utilise [pic 9]

-rappel cos(x)=cos(y)

X=y+2kπ

X=-y+2k[pic 10]

-parité=dire si c’est impair ou pair

-dérivée=f(ax+b)=af’(ax+b)

-déterminer une limite à l’aide un nombre dérives

F’(a)==lim 0[pic 11]

[pic 12]

-pour étudier une fonction trigonométrique

Faire la dérive puis dresser le tableau de variation de la fonction

-rappel

I est le milieu de [ab] donc = et [pic 13][pic 14]

Intervalle de fluctuation ; estimation

-Soit on connait la valeur théorique de p et on souhaite la comparer avec une fréquence observe expérimentalement et on utilise l’intervalle de fluctuation

-soit on ignore la valeur de p et on souhaite l’estimer grâce à des fréquences observées dans des échantillons de taille assez grandes on utilise intervalle de confiance 

I-intervalle de fluctuation asymptotique

-P=valeur théorique ou présence d’un caractère dans une population

-N=échantillon

=fréquence expérimentale [pic 15]

Pour utiliser la formule on doit vérifier 3 conditions :

n[pic 16]

][pic 17]

Si :on accepte l’hypothèse selon laquelle la proportion du caractère est égale a p[pic 18]

Si :on rejette cette hypothèse avec une probabilité inferieur a 0,05 de la rejeter a tord[pic 19]

II-estimation-intervalle de confiance

Pour utiliser la formule on doit vérifier 3 conditions :

n[pic 20]

;[pic 21][pic 22]

FONCTION EXPONENTIELLE

Il existe une unique fonction 𝑓 définie et dérivable sur ℝ telle que 𝑓’(𝑥)=𝑓(𝑥) pour tout 𝑥 et 𝑓(0)=1.

PROPRIETES FONDAMENTALES :

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

([pic 29]

La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ. >0,[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

Démonstration à connaitre

H(x)=[pic 34]

H’(x)est donc [pic 35]

Or [pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

Donc h’(x)[pic 39]

Croissance comparées : Limites de fonction qualifie de forme indéterminé par lim d’un produit ou un quotient

;;;[pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]

Méthode exponentielle

-pour simplifier un quotient :factorise le numérateur et dénominateur par un même facteur  de type (regarder ce qui est attendu  à la fin pour factoriser[pic 44]

-résoudre des équation et inéquation :faut transformer l’equation en  l’inéquation pour obtenir

  ou  puis utiliser que les fonction exponentielle est strictement croissante[pic 45][pic 46]

-déterminer équation tangente :

Calculer f(a) puis f’(a) appliquer la formule [pic 47]

-étudier variation d’une fraction du type [pic 48]

On étudie d’abord les variation de u puis on utilise que u et  on le même sens de variation [pic 49]

Ex de phrase :on en déduit le tableau de variation des fonction u puis  puisqu’elle on même sens de variation [pic 50]

Ex :

Intégrale et primitive

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b]. On appelle intégrale de la fonction f sur l’intervalle [a;b] l’aire, exprimée en unités d’aire, de la surface comprise. Unité d’air U.A

La fonction F est dérivable sur un intervalle I et de dérivée F’=f

[pic 51]

f’(x)=cos(ax+b) :F(x)=sin(ax+b)/a et f’(x)=sin(ax+b) := -cos(ax+b)/a

Intégrale est une fonction continue sur I note :

(t)dt=F(b)−F(a)[pic 52][pic 53]

Ici a est plus petit que b

 Pour changer de borne[pic 54]

-relation de Chasles :

[pic 55]

[pic 56]

-relation libéralité intégrale :

[pic 57]

-si f est positives[a ;b]alorsdx est positive pareille si f est negative[pic 58]

-valeur moyenne de la fonction

M=[pic 59]

Méthode intégrale et primitive

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