Exercice de probabilté

GRAND ORAL MATHS

En moyenne 95% des personnes se présentent à leurs vols. Aujourd’hui la plupart des compagnies aérienne utilise la technique de surbooking qui est le fait de vendre plus de billet qu’il n’y a de place dans l’avion afin d’éviter qu’un avion décolle avec plusieurs sièges inoccupés. Le cœur du fonctionnement de surbooking sont les probabilités. Les probabilités c’est d’évaluer le nombre de chances qu’a un évènement de se produire. J’ai choisi ce sujet car je trouvais intéressant de montrer que les mathématiques pouvaient être utiles pour les futurs métiers de notre génération qui ont souvent tendances a pensé que cette matière est inutile pour l’avenir.

On peut donc se demander dans quel mesures les maths permettent de contrôler la rentabilité du surbooking pour les compagnies aériennes ?                                  Après avoir étudié les calculs réaliser pour contrôler le surbooking nous mettrons en évidence la stratégie la plus profitable.

Les calculs réaliser pour contrôler le surbooking sont dans un premier temps basé sur la loi binomiale. La loi binomiale permet de calculer le nombre de succès obtenus lors de la répétition de plusieurs expériences aléatoires, identiques et indépendantes. Prenons un exemple.

Supposons que la compagnie Air France ait vendu 103 billets pour son vol Paris-Madrid. La probabilité que chaque personne se présentent au vol est de 95%. Soit X la variable aléatoire qui désigne le nombre de passagers qui se présenteront pour leur vol. Comment s’y prend-on pour calculer la probabilité que, par exemple, exactement 101 passagers se présenteront à l’embarquement ?

X suit donc une loi binomiale de paramètres n=103 et p=0,95

D’après la formule de la loi binomiale

P[=k]=(nk)×pk×(1−p)n−k.

On a

P[Y=101]=(103101)×(0,95)101×(0,05)2≡0,07386.

(Coefficient binomiale de 101 parmi 103 fois la proba puissance 101 fois 1-la proba puissance 103-101)

Ce qui signifie qu’il y a environ 7 % de chances qu’exactement 101 personnes sur 103 se présenteront à l’embarquement.

Par la suite on va calculer le gain. Supposons que l’avion ait une capacité de 100 sièges et qu’Air France ait vendu ces 105 billets à 200 $ chacun pour un revenu total de 103 × 200 $ = 20 600 $.

Supposons de plus que chaque passager se voyant refuser l’accès à bord coûte à la compagnie 800 E en compensation. Le gain, étant le revenu brut d’Air France, est une variable aléatoire avec quatre valeurs possibles :

• G = 20 600 E pour 100 passagers,
• G = 19 800 E pour 101 passagers,
• G = 19 000 E pour 102 passagers,
• G = 18 200 E pour 103 passagers.

Après avoir vu la présence de la loi binomiale nous voyons que l’espérance entre dans les calculs. Ainsi, l’espérance du gain est donnée par:

E[G] = 20 600 $ × P[G = 20 600 $]
+ 19 800 $ × P[G = 19 800 $]
+19 000 $ × P[G = 19 000 $]
+ 18 200 $ × P[G = 18 200 $]
= 20 600 $ × P[X ≤100]
+ 19 800 $ × P[X = 101]
+19 000 $ × P[X = 102]
+ 18 200 $ × P[X = 103]
= 20 484,70 $.

Nous allons maintenant mettre en évidences la stratégie la plus rentable pour les compagnies aériennes. Reprenons avec notre exemple d’Air France. Nous venons de voir que si elle vend 103 billets, elle peut espérer encaisser 20 484,70 E. Devrait-elle risquer vendre davantage de billets, ou devrait-elle en vendre moins ? Examinons différents scénarios, incluant celui à 103 billets.

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