Culture Scientifique et Traitement de l’information

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Chapitre1 : Mathématiques pour le signal

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1.1.Introduction

Dans un repère orthonormé 𝑂; 𝑂 𝐼 ; 𝑂 𝐽 , on appelle cercle trigonométrique le cercle orienté

de centre O et de rayon 1.

Ci-dessous on donne le cercle trigonométrique (de rayon 1), le sens de lecture est l’inverse du sens

des aiguilles d’une montre. Les angles remarquables sont marqués de 0 à 2π (en radian) et de 0° à

360°. Les coordonnées des points correspondant à ces angles sont aussi indiquées.

Le point M a pour coordonnées (cosx,sinx). La droite (OM) coupe la droite d’équation (x = 1) en T,

l’ordonnée du point T est tanx.

1.2.Sinus, cosinus et tangente de quelques angles particuliers

𝜃 0 𝜋

6

𝜋

4

𝜋

3

𝜋

2

sin 𝜃 0 1 2 2 2 3 2 1

cos 𝜃 1 3 2 2 2 1 2 0

tan 𝜃 0 3 3 1 3 impossible

1.3.Parité des fonctions trigonométriques comme sinus, cosinus et tangente

Les fonctions cosinus et sinus sont 2𝜋 –périodiques : et la fonction 𝑡𝑎𝑛 est périodique de

période π.

𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝟐𝝅 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 et 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝟐𝒌𝝅 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒐ù 𝒌 𝝐 ℤ

𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝟐𝝅 = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 et 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝟐𝒌𝝅 = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒐ù 𝒌 𝝐 ℤ

𝐭𝐚𝐧 𝒙 + 𝟐𝝅 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙 et 𝐭𝐚𝐧 𝒙 + 𝟐𝒌𝝅 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝒐ù 𝒌 𝝐 ℤ

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Pour montrer la parité on a les formules suivantes :

cos −𝑥 =cos(𝑥) donc cosinus est paire

sin −𝑥 =−sin(𝑥) d’où sinus est impaire

tan −𝑥 =−tan(𝑥) d’où tangente est impaire

Encadrement de cosinus et sinus : ∀ 𝜃 𝜖 ℝ−1≤cos𝜃≤ 1 𝑒𝑡−1≤sin𝜃≤1

1.4.Représentation graphique des fonctions cosinus, sinus et tangente

La fonction cosinus est périodique de période 2π et elle paire (donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées). La fonction sinus est aussi périodique de période de 2π mais elle impaire (donc symétrique par rapport à l’origine)

Pour tout x n’appartenant pas à ….;−𝜋2 ,𝜋2, 3𝜋2,5𝜋2…. tan𝑥=sin𝑥cos𝑥

La fonction tanx est périodique de période π; c’est une fonction impaire

1.5.Relations fondamentales et Formules d’addition

 Les formules d’additions

cos 𝑎+𝑏 =cos𝑎.cos𝑏−sin𝑎.sin𝑏 sin 𝑎+𝑏 =sin𝑎.cos𝑏+sin𝑏.cos𝑎 tan 𝑎+𝑏 =tan𝑎+tan𝑏1−tan𝑎.tan𝑏

 On en déduit immédiatement :

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cos 𝑎−𝑏 =cos𝑎.cos𝑏+sin𝑎.sin𝑏 sin 𝑎−𝑏 =sin𝑎.cos𝑏−sin𝑏.cos𝑎 𝐭𝐚𝐧 𝒂−𝒃 =𝐭𝐚𝐧𝒂−𝐭𝐚𝐧𝒃𝟏+𝐭𝐚𝐧𝒂.𝐭𝐚𝐧𝒃

1.6.Formules de linéarisation

Voici d’autres formules qui se déduisent des formules d’additions. Il n’est pas nécessaire de les connaître par coeur mais de savoir les retrouver en cas de besoin

𝐜𝐨𝐬𝟐𝒂=𝟏+𝐜𝐨𝐬𝟐𝒂𝟐 ; 𝐬𝐢𝐧𝒂.𝐜𝐨𝐬𝒃=𝐬𝐢𝐧 𝒂+𝒃 +𝐬𝐢𝐧(𝒂−𝒃)𝟐

𝐬𝐢𝐧𝟐𝒂=𝟏−𝐜𝐨𝐬𝟐𝒂𝟐 ; 𝐬𝐢𝐧𝒂.𝐬𝐢𝐧𝒃=𝐜𝐨𝐬 𝒂−𝒃 − 𝐜𝐨𝐬(𝒂+𝒃)𝟐 𝐜𝐨𝐬𝒂.𝐜𝐨𝐬𝒃=𝐜𝐨𝐬 𝒂−𝒃 +𝐜𝐨𝐬(𝒂+𝒃)𝟐 𝐭𝐚𝐧𝟐𝒂=𝟐.𝐭𝐚𝐧𝒂𝟏−𝒕𝒂𝒏𝟐𝒂

1.7.Dérivées des fonctions trigonométriques

Les fonctions trigonométriques sont dérivables sur leurs domaines de définitions. Ainsi ona :

(𝐜𝐨𝐬𝒙)′=−𝐬𝐢𝐧𝒙 et (𝐬𝐢𝐧𝒙)′=𝐜𝐨𝐬𝒙 ; (𝐭𝐚𝐧𝒙)′=𝟏+𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙=𝟏𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙

1.8.Etudes des signaux trigonométriques

𝑠𝑖𝑛: ℝ → −1,1 𝑐𝑜𝑠:ℝ → −1,1 𝑡𝑎𝑛: ℝ− 𝜋2+ 𝑘𝜋;𝑘∈ℤ →ℝ

𝜃→sin𝜃 𝜃→cos𝜃 𝜃→tan𝜃

 Période, fréquence, pulsation, amplitude, déphasage

Les fonctions sinus et cosinus sont 2𝜋-périodiques, et la fonction tangente est 𝜋-périodique

En effet, on a vu que : cos(𝜃+2𝜋)= cos𝜃 ; sin(𝜃+2𝜋)= sin𝜃 et tan(𝜃+𝜋)= tan𝜃

Les fonctions 𝑡→sin(𝜔𝑡+𝜑) et 𝑡→cos(𝜔𝑡+𝜑) sont périodiques de période :

𝑇=2𝜋𝜔 𝑜ù 𝜔≠0

En effet, sin 𝜔 𝑡+𝑇 +𝜑 =sin 𝜔𝑡+𝜔𝑇+𝜑 =sin(𝜔𝑡+𝜑 +2𝜋)=sin(𝜔𝑡+𝜑)

La

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