Complément sur les fonctions numériques

Complément sur les fonctions numériques

1. Fonction cos et sin

1. Définition et propriétés

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (o ;i ;j)
on peut associer à tout réel x un unique point M du cercle trigo

Si x appartient à [o ;π] x désigne la mesure en radian de l’angle IOM[pic 1]

Définition :

• La fonction qui a tout réel x associe l’abscisse de M est la fonction cosinus.
  ainsi x→ cos x est définie sur R
• La fonction qui a tout réel x associe l’ordonné de M est la fonction sinus.
  ainsi x→ sin x est définie sur R

Propriété :

Pour tout réel x, les points du cercle trigo associés aux réels x et (x+2π) sont confondus.

Ainsi on a :
cos (x+2π) = cos x                 et                 sin (x+2π) = sin x
cos (x+2kπ) = cos x         et                 sin (x+2kπ) = sin x

 On dit que les fonctions cos et sin sont périodique de période 2π

Pour montrer qu’une fonction est périodique de période T on montre :
 pour tout x de Df [pic 2]

Exemple : montrer que la fonction tangente est périodique de période π    
[pic 3][pic 4]

Parité
pour tout réel x, les points M associé à x ; et M’ associé à (-x) sont symétrique par rapport a l’axe des abscisses.
Ainsi on a :
cos (-x) = cos x         et         sin (-x) = - sin x

On dit que la fonction cos est paire et la fonction sin est impaire
 

• Pour montrer qu’une fonction est paire on montre que pour tout x de Df
  f(-x) = f(x)
• Pour montrer qu’une fonction est impaire on montre que pour tout x de Df
  f(-x) = - f(x)

La fonction cos et sin sont dérivable sur R et pour tout x on a
(cos x)’ =  - sin x         et (sin x)’ = cos x         

Cos’(ax+b)= - a sin (ax+b)
sin’(ax+b) = a cos (ax+b)

[pic 5]

1. variations et représentation graphique

Grâce à la périodicité des fonctions cos et sin et au fait que l’une est paire et l’autre impaire, on peut limiter l’étude des variation à l’intervalle [0 ;π]

On obtient les tableaux de variation et les représentations graphiques suivantes [pic 6]

[pic 10]

1. dérivée de [pic 11]

théorème :
on considère une fonction f est dérivable sur un  intervalle I et deux réels a et b fixés. On note J l’intervalle formé par des réels x tels que (ax+b) appartiens a I et g la fonction :
 [pic 12]

alors la fonction g est dérivable sur J et pour tout x de J :
 [pic 13]

Démonstration :

Exemple :
   avec [pic 14][pic 15]

Alors [pic 16]

1. dérivée de   et  [pic 17][pic 18]

Propriété 1
On considère une fonction u strictement positive et dérivable sur I. la fonction  est dérivable sur I et pour tout réel x de I[pic 19]

...