Chapitre 2 : fonctions de référence

        Chapitre 2 : fonctions de référence

1. Rappel sur les fonctions

1. Définition

Une fonction peut être exprimée de différentes manières :

• Par une expression algébrique

Ex : la fonction f définie par f(x)= 3x-2

On cherche à calculer la valeur prise pour x=2

F(2) = 3x2-2

     = 6-2

     = 4

• Par un tableau de valeurs

Exemple :

Exercice : f(x) = 3x-2

Tableau de valeurs :

        2. Etude d’une fonction

• Croissante, décroissante, constante

• Si f(x) augmente lorsque x augmente, on dit que la fonction f est croissante
• Si f(x) diminue lorsque x augmente, on dit que la fonction f est décroissante
• Si f(x) ne varie pas lorsque x varie, la fonction f est constante

• Des points remarquables : f(0) et f(x)=0

F(0) est généralement facile à calculer

Ex : f(x) = x3 (x puissance 3) – 2x2 (x puissance 2) + x-5

        F(0)= -5

Sur une courbe, f(0) correspond au point intersection avec l’axe des ordonnées.

F(x)=0

Les valeurs de x pour lesquelles la fonction prend la valeur 0.

Correspond à l’intersection de la courbe à l’axe des abscisses.

• Extremum et lecture graphique

• Lorsqu’une fonction atteint une valeur maximale f(x0) en x0, si on trace la droite horizontale y=f(x0), la courbe représentative de f est en dessous de cette droite.
• Lorsqu’une fonction f atteint une valeur minimale f(x1) en x1, la courbe représentative de f est au-dessus de la droite d’équation y=f(x1)

Exemple application : fichier cotation.xlsx

→ indice CAC 40 sur janvier

Valeur maximale, valeur minimale, périodes croissantes et décroissantes

1. Fonctions affines

1. Définition et représentation

Def : une fonction affine f est une fonction par laquelle, à tout réel x, on associe f(x)= ax+b, où a et b sont deux réels

La courbe qui la représente est une droite a est le coefficient directeur de la droite b est l’ordonnée à l’origine.

• F(x)= ax+b

Cas particulier : a = 0 -> fonction constante

B= 0 -> fonction linéaire (droite qui passe par l’origine du repère)

1. Détermination d’une fonction affine

Si on connait deux nombres distincts x1 et x2 et leurs images f(x1) et f(x2) alors l’accroissement moyen de f entre x1 et x2 se calcule par :

A = ∆y / ∆x = f(x2) – f(x1) / x2 – x1

F(x) = a (x-x1) + f(x1)

Interprétation graphique.

La droite représentant f pass par les points (x1 ; f(x1)) et (x2 ; f(x2)

∆y / ∆x est le coefficient directeur de la droite

La droite a pour équation : y = a(x-x1) + f(x1) où a = ∆y / ∆x

Exemple : fabrication et vente de tapis. Coût de fabrication

288€ pour 120 tapis

345€ pour 150 tapis

Coût de fabrication s’exprime en fonction du nombre de tapis par une fonction affine.

1. Calculer le coefficient directeur de la droite

X= nombre de toupies

Y= coût de fabrication

X1 = 120         y1= f(x1)= 288

X2 = 150         y2= f(x2)= 345

a= ∆y / ∆x = y2 – y1 / x2 -x1 = 345 -288 / 150 -120

                              = 57 / 30

                            A = 1,9

1. En déduire l’expression de la fonction affine

F(x) = a(x – x1) + f(x1)

     = 1,9 (x – 120) + 288

     = 1,9x – 120 * 1,99 + 288

 F(x)= 1,9x + 60

1. Chaque toupie est vendue 2,5 €. Exprimer la fonction g qui donne le prix en fonction du nombre de toupies vendues.

F : coût de production en fonction nombre de toupies

G : prix vente en fonction nombre de toupies

Bénéfice : prix vente – coût de production g(x) – f(x)

Je vends N toupies

Quel bénéfice sur chaque toupies vendues ?

Bénéfice total pour N toupies : g(N) – f(N)

Bénéfice unitaire : g(N) – f(N) / N

1.  Dérivée d’une fonction

1. Nombre dérivé et tangente

• Si on connaît la fonction par son expresion f(x), on calcule f’(x), f’ étant la fonction dérivée de f.

Et on calcule ensuite la valeur particulière f’(a) pour x=a

1. Dérivée d’une fonction du premier ou second degré

Soient a, b et c des réels.

F(x)= ax² + bx + c

a≠0 -> second degré

a=0 -> premier degré

Si f(x) = bx, f’(x) = b

Si f(x) = bx+ c, f’(x) = b

Si f(x) = x², f’(x) = 2x

   F(x) = ax², f’(x) = 2ax

Si f(x) = ax² + bx + c, avec a≠0

F’(x) = 2ax + b : second degré

Application :

F(x)= 3x – 2

G(x)= 5x² + 8x -3

B(x)= -2x² + 3x -1

Calculer f’(x) = 3

         G’(x) = 2 * 5x + 8 = 10x + 8

         H’(x) = -4x + 3

1. Signe de la dérivée et variation d’une fonction

Si la dérivée f’ d’une fonction f est positive sur un intervalle I, la fonction f est croissante sur I.

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