Bac blanc de mathématiques

                           Bac blanc de mathématiques

Jeudi 17 octobre 2013         Durée 2h30

La calculatrice est autorisée

Exercice n°1 :   6 points                                                                                                                     

ABCD est un carré de 10 cm de côté et AMPN un carré de côté x tel que x                                               

[pic 1]

appartient à l'intervalle I = [ 0 ; 10 ].

On désigne par S(x) l'aire en cm2   de la partie grisée.

1. Démontrer que pour tout nombre x de I,   S(x)   = - x 2 + 5 x  + 50
2. Donner le tableau de variation de S sur I.
3. Trouver x telle que  l'aire S(x) soit égale au quart de l’aire du carré ABCD.
4. Quel est l'ensemble des nombres x de I pour lesquels

                             S(x) ≤ aire (AMPN) ?

Exercice n° 2 : 5 points 

 ABCD est un carré de côté 4. Le point M appartient  à  [AB] et le point N appartient à [AD]

de telle sorte que AM = DN.  On pose AM = x

On considère la fonction f : x )   f(x)  = MN

1. Quel est l’ensemble de définition de la fonction f  ?
2. Justifier que   f(x) =  .
3. Dresser le tableau de variation de f.
4. Où placer M et N pour que MN soit minimale ?
5. Vérifier que la distance minimale est 2 .

Exercice n° 3 : 5 points 

Soit  f(x)  =  et g(x) =  x + 3 .

1.  Pour quels réels peut-on calculer f(x) ?
2.  Justifier que pour tout x ≤ -3  alors  g(x) ≤ 0 ≤  f(x) 
3.  Démontrer que si   -3< x  ≤ 2,   f(x) - g(x) =  où D >0
4. Déduire des deux questions précédentes la position relative des courbes représentant f et g sur ]- ; 2].

Exercice n° 4 : 4 points

Soit m un réel distinct de 2. On considère l’équation du second degré d’inconnue x :

(m-2) x2 +5x +7-m = 0 .

1.  Démontrer que l’équation admet au moins une solution pour tout m.
2.  Pour quelle valeur de m, l’équation admet-telle une solution unique ? Donner cette solution.
3.  Démontrer que -1 est solution de l’équation pour tout m.
4. Déterminer m pour que 6 soit solution.

Correction :

Exo 1 1) S(x) = A – (A1+A2)où A2 est l’aire du triangle DPC , A1 celle du carré AMPN et A celle du carré ABCD.

On a donc S(x) = 10²-(x²+  DC;2))) = 100-(x²+ 10;2)))

                       = 100-(x²+50-5x)= -x²+5x +50

2)–x²+5x+50 est de la forme ax²+bx+c avec a = -1 b= 5 et c= 50 , a<0 et – = -  =  d’où :

3)S(x) =102 = 25 équivaut à -x²+5x +50 = 25  soit -x²+5x +25 =0

Ceci est de la forme ax²+bx+c avec a = -1 b= 5 et c= 25

Δ= b2-4ac= 25+100= 125>0 donc l’équation a deux solutions :

x = ;-2 ))= ;2)) qui est compris entre 0 et 10 ou

 x = ;-2))= ;2))<0 donc qui ne convient pas . La seule valeur de x qui convient est donc x= ;2))

4) S(x)

2x²-5x-50 est de la forme ax²+bx+c avec a = -2 b= 5 et c=50 ,

Δ = b²-4ac=25+400=425>0 , il a deux racines : ;-4))=;4))et  

;-4)) =;4))donc le signe de -2x²+5x+50 est celui de a donc négatif à l’extérieur des racines , or x est dans [0 ;10] et ;4))<0 donc  S(x) ≤A1 pour tout x de [;4)) ;10]

Exo 2

1) x=AM avec M sur le segment [AB] donc 0≤AM ≤AB donc 0≤x ≤4, l’ensemble de définition de f est donc [0 ;4]

2) Dans le triangle rectangle AMN on a par le théorème de Pythagore :

AM2+AN2= MN2 = x2+ (4-x)2 = 2x2-8x+16 . Or MN≥ 0 donc  MN =

On a donc f(x) =

3) Soit u(x) = 2x2-8x+16, u(x) est de la forme ax²+bx+c avec a = 2 b= -8 et c= 16 la fonction u est une fonction du second degré avec un minimum car a = 2>0, ce minimum est atteint pour x = -  =  =2, le minimum est f(2) = 8 et

on a f(x) =

MN =f(x) est minimale pour x= AM=2 . Or AB= 4 et M est sur [AB] donc M est le milieu de [AB] . De même , N est le milieu de [AD]

...