Bac blanc de maths

Chapitre 13 1 Équation différentielle y 0 = f Dans toute cette partie, f est une fonction définie et continue sur un intervalle I. 1.1 Primitives d’une fonction continue sur un intervalle Définition 1 — Une équation différentielle est une équation où l’inconnue est une fonction et où interviennent des dérivées de cette fonction. — Résoudre une équation différentielle, c’est trouver toutes les fonctions solutions de l’équation. Définition 2 Soit F une fonction définie sur I. on dit que F est un primitive de f sur I lorsque F est dérivable sur I et que F 0 = f . Donc F est solution de l’équation différentielle y 0 = f , dont l’inconnue est la fonction y. Exemple 1. Les fonctions x 7→ x 3 et x 7→ x 3 +6 sont solutions sur R de l’équation différentielle y0 = 3x 2 d’inconnue y. Ces deux fonctions sont donc des primitives sur R de la fonction x 7→ 3x 2 . Exercice 1. Soit G et g les fonctions définies sur R par G(x) = (2x +1)e x et g (x) = (2x +3)e x . Calculer G0 (x) pour tout réel x. Que représente alors la fonction G pour la fonction g ? Exercice 2. Soit G et g les fonctions définies sur R par G(x) = x ln(x)− x et g (x) = lnx. Montrer que G est une primitive de g. Propriété 1 : Admis Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle. Remarque 1. Certaines fonctions comme la fonction f : x 7−→ e −x 2 , sont continues sur R, donc admettent des primitives sur R, mais n’ont pas de primitive « explicite »à l’aide des fonctions usuelles. Propriété 2 Deux primitives F et G d’une même fonction f continue sur un intervalle I diffèrent d’une constante. Démonstration. On définit sur I la fonction d par d(x) = F(x)−G(x). Par hypothèse, F et G sont dérivables sur I et on a F0 = f et G0 = f . Par conséquent, d = F −G est aussi dérivable sur I et g 0 = F 0 −G 00 = 0. On en déduit que g est constante sur I. Il existe donc un réel C tel que, pour tout x ∈ I, g (x) = C soit F(x)−G(x) = C donc F(x) = G(x)+C, d’où le résultat. ■ Propriété 3 Soient x0 ∈ I et y0 ∈ R quelconque. L’équation différentielle (E) : y 0 = f admet une unique solution F sur I telle que F(x0) = y0. Démonstration. f est continue et admet donc une primitive G sur I : G est solution de (E). Les fonctions x 7→G(x)+C, avec C ∈ R, sont aussi des primitives de f sur I et donc des solutions de (E). La condition F(x0) = y0 équivaut àG(x0)+k = y0 ⇐⇒C = y0 −G(x0). Ainsi C est unique et fixée par la condition initiale.D’où l’unicité de la solution F de (E) définie sur I par F(x) = G(x)+ y0 −(G(x0). ■ 1Méthode 1 : Résolution d’une équation différentielle Déterminer la solution F de l’équation différentielle (E) : y 0 = e 2x vérifiant F(0) = −1. 1. On cherche une primitive G de g : x 7→ e 2x : Soit G(x) = 1 2 e 2x . G est dérivable sur R et, pour tout x ∈ R, G 0 (x) = e 2x . Ainsi, G est une solution de (E). 2. On utilise la Propriété 2 en posant F(x) = G(x)+C : La solution cherchée est donc de la forme F(x) = 1 2 e 2x +C avec C ∈ R. 3. On calcule C avec la condition initiale : Comme F(0) = −1, on a 1 2 e 0 +k = −1 ⇐⇒ k = − 3 2 . Ainsi, pour tout x ∈ R, F(x) = 1 2 e 2x − 3 2 . 1.2 Primitives des fonctions de référence A l’aide des dérivées des fonctions de référence, on obtient le tableau suivant des primitives : Fonction f Primitive F f définie sur x 7→ x n (n ∈) et n 6= −1 x 7→ 1 n +1 x n+1 +C R si n ∈ N; R ∗ si n < 0 x 7→ 1 p x x 7→ 2 p x +C R +∗ x 7→ e x x 7→ e x +C R x 7→ 1 x x 7→ ln(x)+C ]0;+∞[ x 7→ cosx x 7→ sin(x)+C R x 7→ sinx x 7→ −cos(x)+C R Propriété 4 Si F est une primitive de f et G est une primitive de g sur [a;b] alors : F +G est une primitive de f + g , λF est une primitive de λf avec λ ∈ R. Méthode 2 : Résolution avec une primitive Résoudre l’équation (E) : y 0 = x 2 +e x d’inconnue y définie sur R. 1. On vérifie que la fonction f est continue et admet donc des primitives : f : x 7→ x 2 +e x est continue sur R en tant que somme de fonctions continues et admet donc des primitives. 2. On utilise le tableau des primitives : Une primitive de x 7→ x 2 est x 7→ x 3 3 et une primitive de x 7→ e x est x 7→ e x Donc la fonction F définie sur R par F(x) = x 3 3 +e x est une primitive de f 3. Les solutions de l’équation sont toutes les primitives, il faut donc rajouter une constante : Les solutions de (E) sont donc les fonctions x 7→ x 3 3 +e x +k, où k ∈ R. Exercice 3. 1. f (x) = 2+6x sur R. Une primitive de F sur I est la fonction F définie par F(x) = ............................ Les fonctions F de définies par F(x) = ................................. sont des primitives de f . 2. f (x) = 1 x +e x sur ]0;+∞[. Une primitive de F sur I est la fonction F définie par F(x) = ............................ Les fonctions F de définies par F(x) = ................................. sont des primitives de f . 3. f (x) = 2x −3x 2 sur R. Une primitive de F sur I est la fonction F définie par F(x) = ............................ Les fonctions F de définies par F(x) = ................................. sont des primitives de f . 21.3 Primitives des fonctions de la forme u 0 ×(v 0 ◦u) Exercice 4. . 1. Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Rappeler la dérivée de la fonction : eu . 2. A l’aide de la question précédente, déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes : (a) f (x) = 3e 3x+1 sur R. (b) f (x) = 2xex 2 sur R. (c) f (x) = 3x 2 e x 3 sur R Exercice 5. . 1. Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. Rappeler la dérivée de la fonction : ln(u). 2. A l’aide de la question précédente, déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes : (a) f (x) = 3 3x +1 sur ]− 1 3 ;+∞[ (b) f (x) = 2x x 2 +1 sur R (c) f (x) = 3x 2 x 3 +1 sur ]−1;+∞[ Exercice 6. . 1. Soit u une fonction dérivable un intervalle I et n un entier naturel non nul. Rappeler la dérivée de la fonction : un . 2. A l’aide de la question précédente, déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes : (a) f (x) = 4e x (e x +1)3 sur R. (b) f (x) = 5×2(2x +1)4 sur R (c) f (x) = 6×2x(x 2 +7)5 sur R (d) f (x) = 3× 1 x (lnx) 2 sur ]0;+∞[ Exercice 7. . 1. Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et strictement positive. Rappeler la dérivée de la fonction : p u. 2. A l’aide de la question précédente, déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes : (a) f (x) = 4x 3 2 p x 4 +1 sur R. (b) f (x) = 3 2 p 3x +5 sur ]− 5 3 ;+∞[. (c) f (x) = e x 2 p e x +1 sur R (d) f (x) = cosx 2 p sinx + 2 sur R Propriété 5 Soient v une fonction définie et dérivable sur un intervalle J et u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I telle que, pour tout x ∈ I, u(x) ∈ J. Alors v ◦u est une primitive sur I de u 0 ×(v 0 ◦u). Par lecture inverse des formules des dérivées , on obtient le tableau suivant des primitives : Fonction f Primitive F Condition sur u u 0u n (n ∈) et n 6= −1; 0 1 n +1 u n+1 +C u(x) 6= 0 pour tout ∈ I et n ≤ −2 u 0 p u 2 p u +C u(x) > 0 pour tout x ∈ I u 0 e u e u +C u 0 u ln(u)+C u(x) > 0 pour tout x ∈ I u 0 u 2 − 1 u +C u(x) 6= 0 pour tout x ∈ I u 0 cosu sin(u)+C u 0 sinu −cos(u)+C

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