Fonctions dérivées

Chapitre 3 : Fonctions dérivées

I Rappels

Propriété 1 Soit la droite D d’équation y = ax+b, x1 et x2 deux valeurs distincts, et A(xA;yA) et B(xB;yB)

deux points appartenant à la droite D. Alors : a =

yB −yA xB −xA

=

f(x1)−f(x2) x1 −x2

Remarque 1 — a est les coefficient directeur de la droite D. — Pour déterminer a on fait, pour deux points distincts, la différence entre les ordonnées divisé par la différence entre les abscisse. Avec des notations plus physique on a simplement : a = ∆y ∆x (ce ∆ se lit "delta").

II Taux d’accroissement.

Définition 1 Soient f une fonction définie sur un intervalle I et h 6= 0 tel que a + h ∈ I. Le taux d’accroissement de f entre a et a + h est le nombre : f(a + h)−f(a) h

Remarque 2 h doit être non nul car il est impossible de diviser par 0 mais il peut aussi bien être négatif que positif.

Exemple 1 Calculons le taux d’accroissement de f entre a et a + h, pour h 6= 0 dans le cas où f est la fonction carré et a = 3 : f(a + h)−f(a) h = f(3 + h)−f(3) h

=

(3 + h)2 −32 h

=

9 + 6h + h2 −9 h

=

6h + h2 h = 6 + h

Remarque 3 Graphiquement on voit que le taux d’accroissement de f entre a et a + h n’est rien d’autre que le coefficient directeur de la droite passant par les points A(a;f(a)) et H(a + h;f(a + h)).

1 Chapitre 3 : Fonctions dérivées

III Nombre dérivé.

Définition 2

Si

f(a + h)−f(a) h

tend vers un nombre réel quand h tend vers 0, f est dite dérivable en a.

Dans ce cas, le nombre réel obtenu s’appelle le nombre dérivé de f en a, noté f′(a). On notera ainsi :

limh→0

f(a + h)−f(a) h

= f′(a)

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