Correction BAC S Math Guyane

[Baccalauréat S Antilles-Guyane\

11 septembre 2013 - Corrigé

EXERCICE 1 5 points

Commun à tous les candidats

Partie A

Restitution organisée de connaissances

Partie B

1. Affirmation 1 : ¢ est orthogonale à toute droite du plan P. ¢ a pour vecteur

directeur ±(1 ; 3 ; −2)

La droite (AB) a pour vecteur directeur

−−→

AB (4 ; −2 ; −1).

La droite (AC) a pour vecteur directeur

−−→

AC (−1 ; −1 ; −2).

Or ±·

−−→

AB = 4−6+2 = 0 et ±·

−−→

AC = −1−3+4 = 0.

Donc ¢ est orthogonale à deux droites (AB) et (AC) sécantes du plan P : elle

est orthogonale à ce plan. VRAIE.

2. Affirmation 2 : les droites ¢ et (AB) sont coplanaires.

On a vu que ¢ et (AB) étaient orthogonales, donc elles ne sont pas parallèles.

Si elles sont coplanaires elles sont donc sécantes en un point.

En traduisant l’égalité vectorielle

−−→

AM = t ′

−−→

AB , on obtient une équation cartésienne

de la droite (AB) :



x = 4t ′

y = −2t ′

−1

z = −t ′

+1

avec t ′ appartenant à R.

S’il existe un point commun aux deux droites ses coordonnées vérifient le

système :



t = 4t ′

3t −1 = −2t ′

−1

−2t +8 = −t ′

+1

⇐⇒



t = 4t ′

12t ′

= −2t ′

−8t ′

= −t ′

−7

système qui n’amanifestement

pas de solution. FAUSSE

3. Affirmation 3 : Le plan P a pour équation cartésienne x +3y −2z +5 = 0.

On peut chercher une équation du plan P mais le plus simple est de vérifier

si les coordonnées de A, B et C vérifient l’équation proposée :

On a 0−3−2+5 = 0, vraie ;

4+3×(−3)−2×0+5 = 0 vraie ;

−1−6+2+5 = 0 vraie. VRAIE

4. On appelleDla droite passant par l’origine et de vecteur directeur

−→u (11 ; −1 ; 4).

Affirmation 4 : La droite D est strictement parallèle au plan d’équation x +

3y −2z +5 = 0.

O n’appartient pas au plan : si la droite D est parallèle au plan, elle est orthogonale

au vecteur

−→n (1 ; 3 ; −2) normal au plan.

Or

−→u ·

−→n = 11−3−8 = 0. Les vecteurs sont bien orthogonaux, la droite D est

strictement parallèle au plan d’équation x +3y −2z +5 = 0. VRAIE

EXERCICE 2 6 points

Commun à tous les candidats

Partie A : Étude du cas k = 1

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

f1(x) = xe−x .

1. Comme lim

x→−∞

e−x = +∞, on a lim

x→−∞

f1(x) = −∞.

f1(x) =

x

ex . On sait que lim

x→+∞

ex

x

= +∞donc lim

x→+∞

f1(x) = 0.

Donc l’axe des abscisses est asymptote horizontale à C1 en +∞.

2. f1 produit de fonctions dérivables sur R est dérivable sur R :

f ′

1(x) = e−x −xe−x = e−x (1−x).

Comme e−x > 0 sur R, le signe de f ′

1(x) est celui de 1−x.

Donc f ′

1(x) > 0 si x < 1 et f ′

1(x) < 0 si x > 1. D’où le tableau de variations :

x −∞ 1 +∞

f ′

1(x) + 0 −

f (x)

e−1

−∞ 0

3. g1(x) = −(x +1)e−x

g1 étant dérivable, on a pour tout réel,

g ′

1(x) = −1e−x −1×[−(x +1)e−x ] = −e−x +(x +1)e−x = xe−x = f1(x).

Donc

...