A. P. M. E. P. Brevet de technicien supérieur session 4 novembre 2019Groupement A – Nouvelle Calédonie

A. P. M. E. P.Brevet de technicien supérieur session 4 novembre 2019Groupement A – Nouvelle CalédonieSpécialités :— Électrotechnique— Systèmes phoniques— Techniques physiques pour l’industrie et le laboratoireExercice 13 pointsLes deux questions de cet exercice sont indépendantesUne usine produit des bobines électriques.1.3% des bobines produites sont défectueuses. On constitue unéchantillon de 100 bobinesprises au hasard dans la production. Cette production est suffisamment importante pourque l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 bobines.On modélise le nombre de bobines défectueuses contenues dans un échantillon de 100bobines par une variable aléatoireX.a.Quelle est la loi suivie par la variable aléatoireX? On ne demande pas de justifications.b.Quelle est la probabilité qu’un échantillon de 100 bobines contienne au plus 3 bobinesdéfectueuses? Arrondir au centième.2.Une des chaînes de fabrication de l’usine doit répondre à unecommande spécifique.On modélise l’inductance, exprimée en henry (H) d’une bobine par une variable aléatoireY.On admet queYsuit la loi normale de moyennem=1 et d’écart typeσ=0,02.Quelle est la probabilité qu’une bobine prise au hasard dansla production ait une induc-tance comprise entre 0,96 H et 1,04 H? Arrondir au centième.Exercice 211 pointsOn considère un circuit composé d’une résistance et d’une bobine en série.On note :•Rla valeur de la résistance, en ohm (Ω),•Ll’inductance de la bobine en henry (H),•e(t) la tension aux bornes du circuit. exprimée en volt (V), à l’instanttexprimé en se-conde (s).•i(t) l’intensité dans le circuit. exprimée en ampère (A), à l’instantt(en seconde).LRe(t)i(t)On rappelle que la fonction échelon unité est la fonction définie pour tout réeltpar :U(t)={0 sit<01 sit>0Le formulaire ci-dessous peut être utilisé pour la partie A de l’exercice.

Brevet de technicien supérieurA. P. M. E. P.Équations différentiellesSolutions sur un intervalleIa y′(t)+b y(t)=0 oùaetbsont desconstantes réelles,aétant non nulle.y(t)=ke−bat, oùkdésigne une constanteréelle.FonctionDérivéet7−→eat, avecaconstante réelle.t7−→aeat.Partie A : Réponse échelon du circuitDans cette partie, on prendR=1Ω,L=0,2 H et on étudie le comportement du circuit lorsqu’onapplique soudainement une tension continue modélisée. pour tout réelt, pare(t)=10U(t).À l’instantt=0 le courant dans le circuit est nul.On admet que la fonctioniest solution sur l’intervalle [0 ;+∞[ de l’équation différentielle(E) :Ly′+R y=e(t)d’inconnuey, oùyest une fonction dérivable de la variablet.1. Dans cette question, ou cherche une expression dei(t)pourt∈[0 ;+∞[.a.Résoudre l’équation différentielle(E0): 0,2y′+y=0.b.Déterminer une fonction constanteg:t7−→c, aveccconstante réelle, solution del’équation différentielle (E) : 0,2y′+y=10.c.En déduire les solutions de l’équation (E).d.Justifier que pour tout réel positif ou nult:i(t)=10−10e−5t.2.On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonctionisur [0 ;+∞[.0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,50246810a.On admet que le développement limité d’ ordre 2 de la fonctioniau voisinage de 0 esti(t)=50t−125t2+t2ε(t) où limt→0ε(t)=0.En déduire l’équation de la tangenteTà la courbe représentative de la fonctioniaupoint d’abscisse 0. Puis tracer cette tangentesur la figure 1 du document réponse.b.Déterminer graphiquement l’intensitéisvers laquelle le courantise stabilise dans lecircuit et l’abscisseτdu point de la tangenteTdont l’ordonnée vautiS.Cette valeurτest une constante de temps caractéristique du circuit. On considère qu’à5τle circuit est passé du régime transitoire au régime permanent.On noteuL(t) la tension aux bornes de la bobine exprimée en volt, à l’instantt(enseconde). On admet que pour tout réelt>0 :uL(t)=Ldidtou encoreuL(t)=Li′(t).CalculeruL(t) pour tout réelt>0.Groupement A24 novembre 2019

Brevet de technicien supérieurA. P. M. E. P.c.L’énergie, exprimée en joule (J), stockée par la bobine pendant la phase transitoire estdonnée parEL=100∫10uL(t)i(t)dt.On admet que :EL=100∫10(e−5t−e−10t)dt.Calculer la valeur exacte deELpuis donner sa valeur arrondie à 10−2.Le formulaire ci-dessous peut être utilisé pour la partie B de l’exerciceFonction causaleTransformée de Laplacet7−→U(t)p7−→1pt7−→U(t−a), avecaconstante réellep7−→1pe−apt7−→e−atU(t), avecaconstante réellep7−→1p+afétant une fonction causale etFsa transformée de Laplace, on a aussi :t7−→f(t)U(t)p7−→F(p)t7−→f(t−α)U(t−α), avecαconstanteréellep7−→F(p)e−apt7−→f′(t)U(t)p7−→pF(p)−f(0+)Partie B : Réponse impulsionnelle du circuitDons cette partie, on prendR=1Ω,L=1H et la tensioneaux bornes du circuit est définie surRpare(t)=20U(t)−20U(t−10).On notes(t) la tension aux bornes de la résistance. exprimée en volt. à l’instantt(en seconde).On admet ques(0)=0 et queLRs′(t)+s(t)=e(t).On note respectivementSetEles transformées de Laplace des fonctionssete.1.Tracer la courbe représentative de la fonctionesur la figure 2 du document réponsesurlaquelle est déjà représentée la fonctions.2.DéterminerE(p).3.En

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