Signe d’une matrice et signe d’une forme quadratique

Méthodologie et recherche

Zoterobib source selon la bonne norme (APA)

TD 7 – Signe d’une matrice et signe d’une forme quadratique

(Refait avec des explications détaillées en français.)

[pic 1]

Rappels et critères utiles

1. Matrices symétriques et signes

• Une matrice symétrique A\in M_n(\mathbb{R}) est dite définie positive si, pour tout vecteur non nul x, on a x^T A\,x > 0.

► Critère de Sylvester : en dimension n, cela équivaut à ce que tous les mineurs principaux d’ordre 1,2,\dots,n soient strictement positifs.

• Une matrice symétrique A est dite définie négative si, pour tout x \neq 0, on a x^T A\,x < 0.

► Critère de Sylvester pour la négativité : tous les mineurs diagonaux principaux alternent de signe en commençant par un mineur d’ordre 1 négatif (pour n=2, on veut a_{11}<0 et \det(A)>0; pour n=3, on veut le 1er mineur < 0, le 2e > 0, le 3e < 0, etc.).

2. Forme quadratique associée

• À une forme quadratique Q, on associe toujours une matrice symétrique M telle que

Q(x) \;=\; x^T \,M\, x.

• Q est dite positive (resp. négative) si M est définie positive (resp. définie négative).

• Si la forme (ou la matrice) n’est pas strictement positive/strictement négative, on peut trouver qu’elle est indéfinie (prend des valeurs + et –) ou semi-définie (positive ou négative au sens large, mais pouvant être nulle hors du vecteur nul).

[pic 2]

1) Étude du signe de matrices 2×2 et 3×3

On nous propose de classer chaque matrice parmi «définie positive», «définie négative» ou «autre».

(a) \displaystyle \begin{pmatrix} 9 & 2\\ 2 & 7\end{pmatrix}

• Mineur d’ordre 1 : 9 (positif).

• Déterminant : 9 \cdot 7 - 2 \cdot 2 = 63 - 4 = 59 (positif).

Tous les mineurs diagonaux principaux sont strictement positifs \Rightarrow la matrice est

\boxed{\text{Définie positive.}}

(b) \displaystyle \begin{pmatrix} -7 & 0.5\\[4pt] 0.5 & -6\end{pmatrix}

• Mineur d’ordre 1 : -7 (négatif).

• Déterminant : ({-7}) \times ({-6}) - (0.5 \times 0.5) = 42 - 0.25 = 41.75 (positif).

Pour la définition négative, on souhaite un premier mineur < 0 et un déterminant > 0, c’est le cas.

[

\boxed{\text{Définie négative.}}

]

(c) \displaystyle \begin{pmatrix}14 & 5 & -1\\ 5 & 14 & -1\\ -1 & -1 & 2\end{pmatrix}

Vérifions d’abord la symétrie (c’est bien symétrique). Calculons les mineurs principaux :

1. m_1 = 14 > 0.

2. m_2 = \det\begin{pmatrix}14 & 5\\ 5 & 14\end{pmatrix} = 14 \cdot 14 - 5 \cdot 5 = 196 - 25 = 171 > 0.

3. \det total : après calcul, on trouve 324>0.

Tous sont positifs \Rightarrow

\boxed{\text{Définie positive.}}

(d) \displaystyle \begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\ -2 & 4 & 1\\ 1 & 3 & -1\end{pmatrix}

• Elle n’est pas symétrique, donc la notion «définie positive/négative» (au sens classique des formes quadratiques) ne s’applique pas directement.

• On répond généralement qu’elle n’est pas classable en tant que telle.

\boxed{\text{Non symétrique, donc ni positive ni négative au sens usuel.}}

[pic 3]

2) Signe de formes quadratiques

On nous donne quatre expressions. On associe systématiquement la matrice symétrique, puis on détermine si la forme est positive, négative ou autre.

(a) \displaystyle Q(X) = x_1^2 + 8x_2^2

La matrice associée (en variables (x_1,x_2)) est \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 8\end{pmatrix}.

• Tous les termes diagonaux sont > 0, le déterminant vaut 1 \times 8 = 8>0.

\boxed{Q \text{ positive (matrice définie positive).}}

(b) \displaystyle Q(X) = -(x_1 - x_2)^2

Développement : -(x_1 - x_2)^2 = -x_1^2 + 2\,x_1x_2 - x_2^2.

La matrice correspondante est \begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.

• m_1 = -1<0.

• Déterminant = (-1)(-1) - 1\cdot1 = 1 - 1=0.

Le déterminant nul empêche la «négativité stricte». En fait, Q(x_1,x_2) \le 0 pour tout (x_1,x_2) et vaut 0 dès x_1=x_2\neq 0.

...