Thermodynamique

Université de Rennes I préparation CAPES 2004-2005

U.F.R. S.P.M. Thermodynamique

Exercice 1 : Construction d’une équation d’état à partir des coefficients thermoélastiques.

On définit le coefficient de dilatation isobare  et le coefficient de compressibilité isotherme T par :

et

1) Que valent ces coefficients pour un gaz parfait ?

2) Les coefficients  et T d’un gaz réel ont été mesurés et trouvés de la forme :

Où A et B sont des constantes propres au gaz considéré.

a. Quelle est l’équation d’état à laquelle obéit ce gaz ?

b. Comment s’écrirait cette équation à très haute température et très faible pression ?

Exercice 2 : Comparaison entre un gaz parfait et un gaz de van der Waals

Afin de prendre en compte les interactions qui s’exercent entre les molécules qui constituent un gaz réel, Johannes van der Waals a proposé en 1873 le modèle d’équation d’état suivant :

1.) Comparer cette équation d’état à celle d’un gaz parfait. Quelle est la signification physique des termes supplémentaires ?

2.) On définit le facteur de compression d’un gaz par où Vm est le volume molaire du gaz.

a) Que vaut le facteur de compression pour un gaz parfait ?

b) Estimer le volume molaire du dioxyde de carbone à 500 K et 100 atm en le considérant comme un gaz de van der Waals (a = 3,592 atm.l2.mol-2, b = 4,26710-2 l.mol-1).

c) Calculer le facteur de compression du CO2 pris dans ces conditions et comparer le à celui du gaz parfait. Le CO2 est il plus compressible ou moins compressible qu’un gaz parfait ? Quelle est l’origine physique de cet écart à la compressibilité du gaz parfait ? Selon vous comment évoluerait Z aux très hautes pressions pour le CO2 ?

Exercice 3 : Gaz de Dieterici (d’après ENSI)

Un tel gaz a pour équation (pour une mole) :

, avec a constante.

1.) Donner les expressions des coefficients thermoélastiques  (coefficient de dilatation isobare) et  (coefficient d’augmentation de pression isochore) pour ce gaz.

2.) Dans le domaine des faibles pressions, on peut utiliser une expression du type :

a) retrouver l’équation d’état du gaz parfait si V.

b) Déterminer A par un développement limité au premier ordre en .

c) Que deviennent  et  ?

Exercice 4 : Compression mono et bi étagée

A. Compression en une étape (« mono étagée »)

n moles de gaz parfait subissent les transformations réversibles suivantes à partir de l’état initial i (Pi Ti) :

(1) : adiabatique jusqu’à l’état A (PA > Pi, TA)

(2) : isobare de l’état A à l’état final f (Pf = PA, Tf = Ti)

On définit le taux de compression global . On note le rapport des chaleurs spécifiques molaires à pression et à volume constants et R la constante des gaz parfaits. On rappelle que pour une transformation adiabatique réversible d'un gaz parfait : .

1. Représenter la suite des transformations (1) et (2) dans un diagramme de Clapeyron (volume en abscisse, pression en ordonnée). Faites figurer l’isotherme Ti sur ce diagramme.

2. a. Exprimer le travail de compression reçu par le gaz le long de l’adiabatique iA en fonction de R, n, , Ti et TA.

b. Même question le long de l'isobare Af.

c. Donner l’expression du travail total de compression en fonction de R, n, , Ti et .

d. Représenter sur le diagramme précédent.

B. Compression en deux étapes (« bi étagée »)

On considère maintenant la nouvelle suite de transformations réversibles suivantes :

(1) : adiabatique de l’état i à l’état B (PA > PB > Pi, TB)

(2) : isobare de l’état B à l’état C (PC = PB, TC = Ti)

(3) : adiabatique de l’état C à l’état D (PD = PA, TD)

(4) : isobare de l’état D à l’état f (Pf = PD, Tf = Ti)

On définit le taux de compression intermédiaire (on posera ).

1. Représenter la suite des transformations sur le diagramme précédent. Comparer graphiquement le nouveau travail total de compression à l’ancien, quelle est l’économie réalisée ?

2. Exprimer le travail total de compression en fonction de R, n, , Ti,  et x.

3. Quelle est en fonction de Pi et Pf la pression intermédiaire PB qui minimise ce travail ?

Exercice 5 : modélisation d'une naine blanche

On admet que l'étoile nommée naine blanche peut être, du point de vue thermodynamique de son rayonnement, considérée comme un ensemble homogène de photons, de répartition isotrope, dans une enceinte dont le volume V est celui de la naine blanche. La pression de radiation (pression exercée par les photons) s'exprime par la relation :

, où u est la densité d'énergie rayonnante. Nous admettrons que la densité d'énergie rayonnante u est égale à la densité d'énergie interne, soit (c'est-à-dire que l'on admet que l'énergie interne U est de nature purement rayonnante).

La température thermodynamique T étant supposée uniforme dans tout le volume V de la naine blanche, nous admettrons que la densité d'énergie

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