Repérages dans le plan et calcul vectoriel

Cours °3 Repérage dans le plan et calcul vectoriel Mathilde B

En utilisant les nombres réels, on a pu associer à chaque point d'une droite munie d'un repère (O ; I) un nombre appelé son abscisse.

On peut de même associer à chaque point d'un plan muni d'un repère (O ; I, J) deux nombres qui sont les coordonnées du point.

Dans un plan muni d'un repère, on peut calculer les coordonnées d'un vecteur et effectuer différents types de calcul vectoriel pour résoudre des problèmes de géométrie.

1. Comment repérer un point dans un plan ?

• On commence par définir un repère du plan : un repère du plan est un triplet de points non alignés (le mot triplet signifie que les trois points considérés sont ordonnés).

En général, on appelle le repère (O ; I, J), où O est l'origine du repère ; la droite (OI) est l'axe des abscisses et la droite (OJ) est l'axe des ordonnées.

• Ensuite, à l'aide du repère, on associe à un point un couple unique de nombres réels en traçant des parallèles aux axes passant par le point.

Cherchons par exemple les coordonnées de A sur la figure ci-dessus.

On note le point d'intersection de (OI) et de la parallèle à (OJ) passant par A et le point d'intersection de (OJ) et de la parallèle à (OI) passant par A.

On détermine les coordonnées de A en prenant :

– pour l'abscisse de A, l'abscisse du point sur la droite graduée (OI) d'origine O,

– pour l'ordonnée de A, l'abscisse du point sur la droite graduée (OJ) d'origine O.

Ici, les coordonnées du point A sont (3 ; 2).

Remarques

Si les axes sont perpendiculaires (O ; I, J) est un repère orthogonal.

Si les axes sont perpendiculaires et si de plus OI = OJ, alors (O ; I, J) est un repère orthonormal.

2. Comment définir un vecteur ? Quand deux vecteurs sont-ils égaux ?

• Soit un plan dans lequel on a défini une unité de longueur. Un vecteur est caractérisé par trois données :

– sa direction : celle de la droite (AB) ;

– son sens : celui de A vers B ;

– sa longueur : la distance AB.

• Le vecteur est égal au vecteur si ces deux vecteurs ont :

– la même direction, c'est-à-dire si (AB) // (CD) ;

– le même sens, c'est-à-dire si les points B et D sont du même côté de la droite (AC) ;

– la même longueur, c'est-à-dire si AB = CD.

Autrement dit : si et seulement si ABDC est un parallélogramme.

Ou encore :

si et seulement si l'image de C par la translation qui transforme A en B est D.

si et seulement si [AD] et [BC] ont le même milieu ;

3. Quelles opérations peut-on effectuer sur des vecteurs ?

• La somme de deux vecteurs est un vecteur que l'on peut construire de deux façons :

– avec la relation de Chasles en partant d'un point A : ;

– avec la règle du parallélogramme : .

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