Quelques rappels de dérivés et de différentiels

I – Pourquoi des incertitudes de mesure ? Définitions et présentation usuelle des résultats.

II – Quelques rappels sur les dérivés et différentielles

III- Somme et différence : incertitude absolue, puis incertitude relative

IV- Produit et quotient : incertitude relative, puis incertitude absolue

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I - Pourquoi des incertitudes de mesure ? Définitions et présentation usuelle des résultats.

A- Introduction : erreurs de mesures et majoration des erreurs

B- Définitions : incertitude absolue, incertitude relative, précision et présentation d’un résultat

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A- Introduction : erreurs de mesures et majoration des erreurs

• Toute mesure expérimentale comporte une erreur liée à la méthode de mesure : erreur de lecture, erreur de mise au point, erreur liée à l’appareil de mesure utilisé, erreur liée à la méthode de calcul de la valeur finale obtenue, etc... Ces différentes erreurs vont s’ajouter les unes aux autres (elles ne se compensent pas), soit directement, soit de façon plus compliquée.

• On regroupe l’ensemble de ces erreurs afin de fournir une incertitude liée à la mesure. Plus l’incertitude est faible par rapport à la valeur mesurée, plus cette mesure est précise, et réciproquement.

• Tout expérimentateur en physique donne toujours ses résultats avec une incertitude. Dans chacun de vos TP et durant les CC associés, il vous sera demandé de donner vos mesures et vos calculs de valeurs avec une incertitude.

• Il existe différentes méthodes pour les calculs d’erreur : nous allons utiliser ici celle qui consiste à MAJORER l’erreur, afin de garantir que la valeur « réelle » de la mesure se situe dans l’intervalle d’erreur donné.

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B- Définitions : incertitude absolue, incertitude relative, précision et présentation d’un résultat

L’incertitude correspond à la différence entre la valeur mesurée gm et la valeur exacte g d’une grandeur G.

On ne connaît pas la valeur exacte g et donc, on ne peut pas connaître avec exactitude cette incertitude, mais on en cherche la limite supérieure.

On donne le résultat sous la forme : G = (gm ± Δg) unité de G

 Δg est l’incertitude absolue sur la mesure gm de G. Elle a la même unité que G et gm.

 Δg comporte au maximum un chiffre significatif, arrondi au chiffre supérieur : c’est la majoration des erreurs.

 Par suite, le dernier chiffre significatif de gm et celui de Δg doivent être de même rang.

Exemple : si on mesure gm = 12,657 m et si on obtient, par mesure directe ou par propagation des erreurs (voir TP), une incertitude absolue Δg = 1,3 cm, alors on arrondit à Δg = 2 cm = 0,02 m et on écrit :

G = (12,66 ± 0,02) m

Mesure de G   Incertitude absolue ΔG sur G

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B- Définitions : incertitude absolue, incertitude relative, précision et présentation d’un résultat

L’incertitude relative, aussi appelée précision de la mesure, est la

quantité

ΔG/G

Elle est sans unité, et on l’exprime souvent en pourcentage.

Exemple : avec G = (12,66 ± 0,02) m

on obtient ΔG/G = 1,6 x 10-3 qu’on écrit : ΔG/G = 0,16% (ou ΔG/G = 0,2%)

Suivant la mesure ou le calcul à effectuer, il sera parfois plus facile d’estimer l’incertitude absolue ΔG, puis d’en déduire l’incertitude relative ou précision ΔG/G, ou de faire le contraire : estimer d’abord ΔG/G, puis en déduire ΔG.

Dans tous les cas, connaissant l’une, on retrouve l’autre :

 Connaissant ΔG et G, on calcule ΔG/G en effectuant le rapport.  Connaissant ΔG/G et G, on calcule ΔG = G x ΔG/G.

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II - Quelques rappels sur les dérivés et différentielles

A- Définitions et exemples pour des fonctions à 1 variable

B- Définitions et exemples pour des fonctions à 2 variables

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A- Définitions et exemples pour des fonctions à 1 variable

En physique, les calculs de différentielles permettent de déterminer les incertitudes sur une grandeur calculée.

Par exemple on peut calculer l’incertitude ΔR sur R = U/I, si on connait les incertitudes ΔU sur U et ΔI sur I des termes de son expression.

Les calculs de différentielles utilisent les dérivées des fonctions.

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A- Définitions et exemples pour des fonctions à 1 variable

Exemple : calculer les différentielles des fonctions à une seule variable suivantes

a) f(x) = xn où n = constante ;

b) h(x) = f(x) + g(x) ;

c) h(x) = f(x) . g(x) ; d) h(x) = f(x) / g(x)

a) df(x) = n xn-1 dx

b) dh(x) = f’(x) dx + g’(x) dx

c) dh(x) = f’(x).g(x) dx + f(x).g’(x)dx

d) dh(x) = [f’(x).g(x) – g’(x).f(x)] dx / [g(x)]2

Exemple : calculer les différentielles des fonctions à une seule variable suivantes

e) f(x)= ln(x)

f) f(t) = exp(kt) où k = constante f) f(t) = k exp(kt) dt

e) df(x) = dx/x

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...