Modélisation Et Optimisation

optimisation de la carbonatation - filtration des sirops de sucre brute

Dans le domaine du Génie des Procédés, les problèmes de conception représentent un axe de recherche fondamental, qui suscite des travaux récurrents. L’examen de différents scénarii, générés par des études numériques, permet ainsi de prévenir un mauvais mode de fonctionnement ou d’optimiser un critère d’ordre technico-économique, environnemental, tenant à des aspects de sécurité… qu’il serait difficile, voire impossible, de corriger a posteriori. L’analyse préalable de ces problèmes, applicable tant à la conception d’ateliers qu’à celle de réseaux de réacteurs, ou d’échangeurs de chaleur et de matière, revêt donc un aspect primordial.

L’étape d’optimisation permet en général d’aboutir à une ou plusieurs solutions de bonne qualité, qui seront présentées aux décideurs, lesquels effectueront ensuite le choix le plus pertinent. Elle est cependant nécessairement précédée d’un travail de modélisation de l’atelier étudié. Le degré de précision de cette phase est bien entendu à double tranchant. Plus le modèle est proche de la réalité, plus les résultats obtenus sont fiables et applicables sans nuance dans le monde réel. En revanche, la contrepartie est évidemment la complexité du problème résultant et la nécessité de disposer d’outils suffisamment puissants pour le résoudre.

Actuellement, les exigences industrielles, conjuguant rentabilité, flexibilité, respect de normes de sécurité ou environnementales, ont conduit à représenter les ateliers de manière toujours plus fidèle, impliquant l’écriture de modèles de plus en plus complexes. Beaucoup de travaux ont ainsi été consacrés aux modèles d’ateliers fonctionnant en continu, qui impliquaient initialement des variables purement réelles, et qui intègrent peu à peu des variables entières de dimensionnement ou de représentation des installations.

Cette remarque vaut également pour la conception d’ateliers discontinus. Leur modélisation fait intervenir différents degrés de sophistication, tels que la prise en compte de facteurs économiques globaux, la modélisation de l’incertitude sur certains paramètres, la possibilité d’existence de bacs de stockage intermédiaire, la considération de critères environnementaux,… Il en résulte l’emploi fréquent de variables décisionnelles discrètes (parfois entières, le plus souvent binaires) au sein de la formulation. Elles sont régulièrement mises en jeu, conjointement avec des variables continues, dans des fonctions généralement non-linéaires et non-continues. Les problèmes d’optimisation résultants sont généralement difficiles à résoudre : problèmes non-linéaires en variables réelles, problèmes linéaires en variables mixtes voire, combinant les deux difficultés, problèmes de type mixte non-linéaire.

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Introduction et présentation de la problématique

Cette complexité s’exprime également par un aspect fortement combinatoire induit, par les variables discrètes. Une grande partie des problèmes de conception d’ateliers discontinus appartient en effet à la classe des problèmes NP-difficiles (pour Non-Polynomial), c’est-à-dire pour lequel aucun algorithme de résolution en un temps polynomial n’est connu [AZZ05] : les temps de résolution augmentent de façon exponentielle avec le nombre de variables discrètes. Or, les exemples de taille industrielle impliquent des centaines de variables et des milliers de contraintes. Les temps de calcul deviennent donc rapidement rédhibitoires, en dépit de l’amélioration constante de la puissance des calculateurs et du développement de stratégies de calcul parallèle.

Une intensification de la recherche autour du développement de méthodes d’optimisation efficaces constitue un axe naturel pour répondre à ces exigences. En effet, le temps de calcul imposé par la complexité des modèles n’est pas le seul écueil pour la détermination de solutions faisables de bonne qualité. Les non-linéarités, l’existence d’optima locaux dus à la non-convexité des fonctions mises en jeu, la discrétisation de l’espace de recherche induite par la présence de variables entières, pénalisent fortement les performances des techniques d’optimisation. Ces dernières intéressent plus particulièrement les travaux de doctorat présentés dans ce mémoire, ciblés sur le développement d’une méthodologie pour aborder des problèmes d’optimisation mixte non-linéaire en Génie des Procédés. Le support de validation de l’étude est basé sur le problème de conception optimale d’ateliers discontinus. Ce chapitre d’introduction du problème s’organise comme suit :

- Un point de vue global sur la production scientifique orientée vers les méthodes d’optimisation et sur leur utilisation conduit à poser les objectifs de l’étude dans une première étape. Les grandes lignes de la méthodologie retenue introduisent alors les parties suivantes.

- Une revue rapide et synthétique, présentant l’ampleur du domaine de l’optimisation mixte non-linéaire, amène au choix des méthodes d’optimisation abordées au cours des travaux.

- Puis, une brève analyse des formulations existantes de conception d’ateliers discontinus permet de cerner un modèle particulier, qui sert de support tout au long de l’étude.

- Enfin, la démarche suivie dans la suite de ces travaux est détaillée et justifiée de manière à aboutir à la description du plan de ce mémoire.

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Introduction et présentation de la problématique

Compte tenu de la diversité des sujets abordés, les parties bibliographiques spécifiques à chaque thème seront développées au sein des chapitres concernés.

1 – Position du problème

1.1 – Deux classes de méthodes

La complexification croissante des problèmes d’optimisation, mue par le souci de réalisme évoqué dans l’introduction, a entraîné le développement d’une grande quantité de méthodes de résolution. La globalité de ces techniques d’optimisation se divise typiquement en deux grandes classes, dont la première se compose des méthodes déterministes. Jusqu’à récemment, l’essentiel des travaux d’optimisation en Génie des Procédés était dédié à la mise en oeuvre de ces dernières.

Elles se caractérisent par la garantie d’obtenir un optimum, dans la mesure où celui-ci existe. Dans le cas particulier de fonctions convexes, elles peuvent même assurer l’atteinte d’un optimum global du problème

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