La conduction

LA CONDUCTION

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I Les lois de la conduction

Les matériaux sont plus ou moins propices aux échanges par conduction, caractérisés par un coefficient appelé conductivité thermique 

I.1 Loi de FOURIER (1822)

Il existe une relation linéaire entre la densité de flux thermique et le gradient de température : en tout point d’un milieu isotrope, la densité de flux thermique instantanée est proportionnelle à la conductivité thermique  du milieu et au gradient de température.

La conductivité thermique  a pour dimension :

 est souvent exprimé en kcal/h m°C, on a alors : kcal/h m°C = 1,16 W/m°C

Quelques exemples de  (en kcal/h m°C)

Solides Cuivre Acier Verre Bois Amiante Laine de verre

 320 43 0,70 0,15 0,10 0,04

Liquides Eau Acide acétique Huile Mercure

 0,52 0,15 0,12 7,2

Gaz Air N2 O2

 0,02 0,021 0,023

La conductivité est une grandeur scalaire positive, caractéristique du milieu, fonction en général de M et de 

 = f (x, y, z, )

Par exemple, un circuit imprimé a une conductivité latérale élevée et une conductivité transversale faible.

Matériau orthotrope avec x et y >> z

Pour un milieu isotrope et homogène,  ne dépend que de .

Dans de nombreux cas pratiques, lorsque les écarts de température ne sont pas trop élevés, on peut considérer, avec une précision suffisante,  comme une constante positive pour un milieu donné.

I.2 Equation de la chaleur (conservation de la chaleur)

Soit un volume élémentaire (dV = dx dy dz). S’il existe un gradient de températures sur ces faces, le transfert de chaleur par conduction s’effectuera perpendiculairement à chacune des faces dans les 3 directions, x, y ,z.(coordonnées cartésiennes). En développant l’expression de la densité de flux en série de TAYLOR, en négligeant les premiers termes, nous avons :

A l’intérieur du domaine, le terme de production interne d’énergie est donné par :

(W) (flux généré)

q ( > 0 pour une création ou < 0 pour une absorption) est une puissance calorifique par unité de volume (W/m3)

Exemples

avec A0 et  des constantes (cas des réactions chimiques).

(production de chaleur par effet JOULE)

On considérera q constant dans la suite du cours.

La quantité de chaleur emmagasinée dans le volume élémentaire de masse dm est : soit la variation d’énergie stockée au sein du matériau st a pour expression :

  : Masse volumique

 Cp : Chaleur massique à pression constante

  -  : Différence de température entre le système et l’extérieur

La conservation de l’énergie s’écrit :

correspond à la différence entre le flux conductif entrant et le flux conductif sortant, soit, par exemple dans la direction x :

Or, le flux de chaleur conductif  s’exprime de la manière suivante (loi de FOURIER) :

où  : conductivité du matériau selon x, et S = dydz, : surface d’échange (normale à la direction x)

L’équation de conservation de l’énergie sur l’ensemble des faces de notre volume élémentaire s’écrit :

soit :

Dans la majorité des cas, la conductivité thermique est considérée comme constante (gradients de températures pas trop importants) alors, nous pouvons écrire :

L’opérateur est le LAPLACIEN de  (en coordonnées cartésiennes) et est noté

Nous aurons donc :

Cas particuliers

Régime permanent simple : et q = 0  = 0 (équation de LAPLACE)

Régime permanent composé : et q  0  = -q/ (équation de POISSON)

Régime transitoire simple : et q = 0

Régime transitoire composé : et q  0

II Régime permanent simple

II.1 Cas d’un mur plan

On considère un matériau homogène isotrope limité par deux plans parallèles qui forment deux surfaces isothermes, avec l’hypothèse e << L, h. On néglige les effets de bords.

Les hypothèses précédentes amènent : donc on a : donc (x) = A x + B

Conditions limites : x = 0  = 1 B = 1

x = e  = 2

L’équation de propagation s’écrit alors :

...