TP sur la méthode de résolution numérique

École Nationale d’Ingénieurs de Sfax

Département de Génie Mécanique

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FASCICULE DE TRAVAUX PRATIQUES

Méthodes de Résolution Numérique (MRN)

« Méthode des volumes finis »

Préparé et Enseigné par: Imen JMAL

À  l’usage des étudiants de la 3ème année  Génie Électromécanique

RÉSOLUTION NUMÉRIQUE AUX VOLUMES FINIS

Application à la modélisation du transfert de chaleur à la paroi d’une conduite cylindrique en régime d’écoulement laminaire

1. Introduction

Les équations régissant les phénomènes de transferts, comme le transfert de la quantité de mouvement, de matière, de chaleur, ou de toute autre forme d’énergie, ne peuvent être résolues par voie analytique que dans des cas très simples. Ainsi, l’étude des phénomènes de transferts relève souvent du domaine de l'empirisme. D’autre part, les cinétiques de transferts déterminées à partir des corrélations empiriques fournies par la littérature, ne peuvent nullement nous renseigner sur la répartition des propriétés transportables, comme la température, la concentration ou encore les composantes de vitesse.

Devant cet état de carence, la voie de la simulation numérique est devenue un moyen incontournable, fiable et très puissant permettant d’aborder les problèmes de manière plus rationnelle. Ainsi, l’utilisation des codes de calcul commerciaux ou spécifiques permet d’apporter une connaissance locale précise et abondante se rapportant à la propriété transportable et d’établir par intégration, des corrélations numériques portant sur des grandeurs globales

Parmi les méthodes de discrétisation les plus utilisées, on peut citer les méthodes aux différences finies, aux volumes de contrôle ou volume finis, et aux éléments finis. Les méthodes aux différences finies utilisent le développement en série de Taylor pour représenter les dérivées partielles. Bien qu’elles soient de mise en œuvre relativement facile, ces méthodes n’assurent pas toujours la conservation des flux globaux. Cela est dû au fait que la discrétisation des opérateurs différentiels, se fait sous la forme intrinsèque des équations et non pas sous leur forme conservatrice. Par contre, la méthode des volumes finis est une méthode conservative, car la discrétisation est entreprise en terme de flux.

Les méthodes aux éléments finis, dont l’utilisation est plus limitée en Dynamique des Fluides Numérique, conviennent plus particulièrement au calcul des structures et aux problèmes faisant intervenir des géométries complexes nécessitant un maillage non structurés.

        La méthode aux volumes finis est la plus adaptée au traitement des équations rencontrées en mécaniques des fluides et les phénomènes de transfert qui s’y attachent.

2. Objectif du Tp

- Se familiariser à la résolution des équations régissant le phénomène de transfert de chaleur par la méthode des volumes finis.

- Déterminer le champ de température en conduite chauffée à sa paroi.

3. Problème à résoudre

        Un fluide dont on supposera toutes les propriétés physiques constantes s’écoule en régime laminaire à une vitesse moyenne Wmoy dans une conduite de rayon R et de longueur L dont la température de paroi est constante Tp. On se propose de déterminer par voie de simulation numérique la distribution de température dans la conduite après avoir atteint le régime permanent. On supposera que le profil de la veine fluide, s’écoulant en régime laminaire, est donné par la loi de poiseuille : W(r) = 2Wmoy (1-r2/R2).  Le fluide faisant l’objet de ce problème est l’eau.

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Donnés du problème:

R= 0.02m

L= 1m

Diffusivité thermique de l’eau α=1.45e-7 m2.s-1

Wmoy=0.001 m.s-1

Tp=60°C

Te=20°C

Les conditions aux limites:                 

r=0         [pic 4]

r=R         T=Tp

z=0        T=Te

z=L        [pic 5]

4. Travail demandé :

• Résoudre l’équation de l’énergie thermique régissant le transfert de chaleur dans la conduite en utilisant la méthode des volumes finis en adoptant :

                              1- un schéma centré.

                              2- un schéma hybride.

• Écrire un code spécifique pour simuler le problème en utilisant le langage de programmation  ‘’Fortran’’.
• Utiliser le logiciel ‘MATLAB’ comme post-processeur pour présenter la distribution de la température au cours du temps et interpréter la cartographie trouvée.

Démarche

I- FORMULATION MATHEMATIQUE ET DEFINITION DU DOMAINE DE CALCUL

Equation d’énergie thermique en régime permanent avec l’ajout d’un pseudo terme transitoire:   [pic 6]

En ajoutant un pseudo terme transitoire on obtient :

[pic 7]

Ou encore sous forme vectorielle : [pic 8] , où [pic 9][pic 10]

Les conditions aux limites :

r=0        [pic 11]

r=R         T=Tp

z=0        T=Te

z=L        [pic 12]

ρ, Cp, λ, Wmoy , R, L, Tp et Te sont des données du problème.[pic 13]

[pic 14]

                                         Domaine de calcul et volume de contrôle                                 

II. DEFINITION DU MAILLAGE 

        Si l’on adopte un maillage uniforme, le volume d'étude est alors subdivisé en volumes de contrôle (volume circonférentiel sur 2π r ) de dimensions constantes :

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