Séquence arithmétique-géométrique

On se place dans un corps commutatif K quelconque, par exemple ℝ (corps des réels) ou ℂ (corps des complexes). Une suite (u_n)_{n \in \N} à valeurs dans K est dite arithmético-géométrique s'il existe deux éléments a et b de K tels que la suite vérifie la relation de récurrence suivante :

\forall n\in\N,~u_{n+1}=a u_n+b.

Remarque. On peut toujours ramener l'étude d'une suite (un)n ≥ n0 à celle d'une suite (vp)p ∈ ℕ en posant vp = un0 + p1. La suite (un) vérifie une relation de la forme ci-dessus pour tout n ≥ n0 si et seulement si la suite (vp)p ∈ ℕ est arithmético-géométrique.

Terme général[modifier | modifier le code]

Cas a = 1[modifier | modifier le code]

Pour le cas a = 1, on a affaire à une suite arithmétique, donc

\forall n\in\N,~u_n=u_0+nb.

Cas a ≠ 1[modifier | modifier le code]

En posant

r =\frac b{1-a}

on a :

\forall n\in\N,~u_n=a^n(u_0- r)+r

(y compris si a et n sont nuls, avec la convention 00 = 1).

[afficher]

Deux démonstrations

D'après la remarque qui suit la définition, on en déduit que, plus généralement :

\forall n_0\in\N,\forall n\ge n_0,~u_n=a^{n-n_0}(u_{n_0}-r)+r.

Somme des premiers termes[modifier | modifier le code]

Si a ≠ 1, toujours en posant r = b/(1 – a), la somme des n premiers termes (de 0 à n – 1) est :

S_n=\sum_{k=0}^{n-1}u_k=(u_0-r)\dfrac{1-a^n}{1-a}+nr.

[afficher]

Démonstration

On en déduit n'importe quelle somme de termes consécutifs : sous les mêmes hypothèses, pour n > p,

\sum_{k=p}^{n-1}u_k=S_n-S_p=(u_{0}-r)\dfrac{a^{p}-a^n}{1-a}+(n-p)r.

Convergence[modifier | modifier le code]

Le terme général et les considérations sur les suites géométriques permettent de déterminer la limite d'une telle suite suivant les valeurs de a et, éventuellement, le signe de u0 – r (si a ≠ 1 et r = b/(1 – a)).

Une remarque intéressante est à faire dans le cas où |a| < 1. Dans ce cas, la limite de la suite est r quelle que soit la valeur initiale. La limite d'une suite de ce type est donc complètement indépendante des conditions initiales. Cette particularité est à mettre en regard avec les suites à récurrence non linéaire (suite logistique) qui peuvent, elles, être très sensibles aux conditions initiales. Dans une chaîne de Markov, cela prouve que la chaîne converge vers une chaîne stationnaire.

Utilisation[modifier | modifier le code]

Les suites arithmético-géométriques se rencontrent dans la modélisation

...