Nombres naturels

Soient a et b, deux nombres entiers naturels avec b≠0

Effectuer la division euclidienne de a par b, c'est trouver deux entiers naturels q et r tels

que :

a = b×q+r et r < b

q s'appelle le quotient et r le reste.

Exemple

division euclidienne

Ecriture en ligne :

6894 = 23×299 + 17

299 est le quotient et 17 le reste.

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Remarque

Sur la plupart des calculatrices de collège la touche qui permet d'effectuer la division euclidienne est notée :

touche division

.

Par exemple, la suite de touches à entrer pour obtenir la division euclidienne de 299 par 23 sur une TI-Collège est :

et voici le résultat obtenu à l'écran :

Définition

On dit que a est divisible par b si le reste de la division euclidienne de a par b est nul.

Cela revient à dire qu'il existe un entier naturel q tel que a = b×q.

Les expressions suivantes sont synonymes :

a est divisible par b

a est un multiple de b

b est un diviseur de a

b divise a (que l'on écrit parfois b | a)

Exemple

La division euclidienne de 630 par 15 donne un quotient de 42 et un reste nul.

On a donc 630 = 15×42.

On peut dire que :

630 est divisible par 15

630 est un multiple de 15

15 est un diviseur de 630

15 divise 630

(On peut aussi dire que 630 est divisible par 42, etc.)

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Critères de divisibilité (Rappel de 6ème)

Un entier naturel est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.

Un entier naturel est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

Un entier naturel est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.

Un entier naturel est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.

Un entier naturel est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Un entier naturel est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.

Remarques

Attention : Pour les critères de divisibilité par 3 et par 9, il faut effectuer la somme des chiffres (et non regarder le chiffre des unités)

Il n'existe pas de critère de divisibilité par 7 qui soit simple. Le plus simple est en général d'effectuer la division !

Exemple

1314 est divisible par 2 (chiffre des unités : 4)

1314 est divisible par 3 (somme des chiffres : 9)

1314 n'est pas divisible par 4 (deux derniers chiffres : 14)

1314 n'est pas divisible par 5 (chiffre des unités : 4)

1314 est divisible par 9 (somme des chiffres : 9)

1314 n'est pas divisible par 10 (chiffre des unités : 4)

2 - PGCD

Définition

Le PGCD de deux entiers naturels non nuls a et b est le plus grand diviseur commun à a et à b, c'est à dire le plus grand entier naturel qui divise à la fois a et b.

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Exemple

Soit à déterminer le PGCD de 600 et 315.

Les diviseurs de 600 sont :

1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 15; 20; 24; 25; 30; 40; 50; 60; 75; 100; 120; 150; 200; 300; 600

Les diviseurs

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