Mathématiques Financières : l’essentiel

Mathématiques Financières : l’essentiel

Les 10 formules incontournables

(Fin de période)

Marc ROMANO

1998/99

Rappels d’algèbre

Taux proportionnel – Taux équivalent

Taux Proportionnel

Exemple : taux mensuel t proportionnel à un taux annuel de 12%

Taux équivalent

Exemple : taux t mensuel équivalent à un taux i annuel de 12%

(ou 0.9488%)

Capitalisation – Actualisation

Valeur acquise Vn par un capital Vo placé pendant n périodes à un taux i

(1)

Valeur acquise par un capital de 10.000 F placé pendant 5 ans au taux annuel de 7 % :

Même calcul, mais intérêts composés trimestriellement.

Etape 1 : Détermination du taux trimestriel équivalent à 7% annuel

Etape 2 : calcul de la valeur acquise d’un capital de 10000 F placé pendant 20 périodes (5 années de 4 trimestres) au taux de 1.706%

On constate que, les taux étant équivalents, les valeurs futures sont strictement identiques, quelle que soit la période de composition choisie.

Valeur actuelle Vo (actualisation) d’une valeur future Vn actualisée sur n périodes à un taux i

(2)

Combien faudrait-il placer aujourd’hui, sur un livret de Caisse d’Epargne à 4% par an, pour disposer de 100.000 F dans 8 ans ?

Emprunts indivis – Annuités (fin de période)

Valeur future Vn d’une suite d’annuités a placées au taux i pendant n périodes

(3)

Quelle sera la valeur totale d’une série de versements de 500 F par mois, versés en fin de période pendant 8 ans au taux de 5,15% par an ?

Etape 1 : taux mensuel équivalent à 5,15% annuel

Etape 2 : calcul de la valeur future

Problème corollaire : montant de l’annuité a pour constituer un capital Vn

De la formule ci-dessus, on peut facilement déduire a en supposant Vn connu :

(4)

Avec les mêmes données que l’exemple précédent (taux et durée), combien aurait-il fallu verser mensuellement pour obtenir un capital de 100.000 F au terme des 8 années ?

Le calcul est direct (nous connaissons déjà le taux mensuel équivalent).

Valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes de fin de période

(5)

Une assurance vie propose deux formules en cas de décès :

• Versement d’un capital unique de 500.000 F

• Versement d’une rente annuelle de 50.000 F pendant 12 ans

En considérant un indice du coût de la vie de 2 % par an, laquelle des deux formules est la plus intéressante ?

Il faut calculer la valeur actuelle des 12 versements annuels de 50.000 F. en appliquant la formule d’actualisation des annuités constantes :

Il est donc beaucoup plus intéressant de choisir la rente annuelle pendant 12 ans (à condition que le bénéficiaire survive, lui).

Prenons le même problème, mais avec un taux d’inflation

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