Le livre V des Eléments d'Euclide

On attribue au mathématicien grec Eudoxe de Cnide, dont les travaux sont perdus, la paternité des idées développées dans le livre V des Éléments d'Euclide, qui permet de traiter rigoureusement des égalités entre proportions de grandeurs géométriques de même nature (longueurs, aires ou volumes), y compris irrationnelles. Cette méthode, appelée plus tard méthode d'exhaustion, permet par exemple à Euclide de démontrer que l'aire d'un disque est proportionnelle au carré de son diamètre.

Elle fut brillamment illustrée par Archimède, qui a entre autres montré, que le rapport de l'aire du disque sur le carré de son rayon était identique au rapport de la circonférence du cercle sur son diamètre (formulation qui n'est pas celle d'Archimède, voir l'article détaillé). Elle était encore très estimée, pour sa rigueur, par Blaise Pascal. Il s'agit d'une méthode proche de la notion moderne de limite mais « indirecte » : elle est lourde à manier et permet seulement de montrer des égalités, des égalités de nombres réels si on la relit de façon moderne. Ce qui correspond à l'existence d'un nombre limite est obtenu par des moyens géométriques.

Si la méthode d'Eudoxe fut abandonnée par les mathématiciens au XVIIe siècle avec l'avènement du calcul infinitésimal, ce n'est qu'au XIXe siècle que fut introduite, par divers procédés, la construction des nombres réels qui permet de s'affranchir en toute rigueur de la géométrie1.

Archimède a également utilisé pour un calcul approché du nombre Pi une méthode d'encadrements qui n'est pas sans rapport avec la méthode d'Eudoxe, bien que l'objet de celle-ci ne soit pas le calcul approché.

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