La méthode pour déterminer l'équation réduite

Cette math-fiche a pour objet de d'expliquer la façon la plus simple de déterminer l'équation réduite d'une droite de la forme y=mx+p en connaissant les coordonnées de deux points de cette droite.

La méthode est assortie d'un exemple et propose une démonstration mais n'explique ce qu'est une équation de droite.

Pour déterminer l'équation réduite d'une droite passant par deux points A et B dont on connait les coordonnées respectives A(xA : yA) et B(xB : yB), avec xA≠xB, il faut simplement chercher à calculer les valeurs de m et de p dans l'équation réduite de la forme y=mx+p

La valeur de m - le coefficient directeur - est donnée par l'application de la formule :

\mathbf{m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}

Pour déterminer p - l'ordonnée à l'origine - il suffit de résoudre l'équation d'inconnue p:

\mathbf{y_A=mx_A+p}

(donc p=y_A-mx_A)

Remarque :

Dans le cas où xA=xB, l'équation de la droite sera simplement x=xA

Exemple :

Les points A et B ont pour coordonnées A(-1;3) et B(2;-3). Déterminer l'équation réduite de la droite (AB).

La droite (AB) a pour équation : y=mx+p

Calcul de m :

m=\frac{-3-3}{2-(-1)}=\frac{-6}{3}=-2

Calcul de p :

p est solution de l'équation y_A=mx_A+p soit en remplaçant yA, m, et xA

3=-1×(-2)+p

p=3-2

p=1

(AB) a donc pour équation y=-2x+1

Démonstration :

A et B appartenant tous deux à la droite (AB) dont l'équation réduite est de la forme y=mx+p, m et p sont solutions du système :

2$ \left\{ {y_A=mx_A+p \:\: \:\: \:\: (1)\\y_B=mx_B+p \:\: \:\: \:\: (2)} \right.

En soustrayant une ligne à l'autre (2)-(1) on obtient :

yB-yA=mxB-mxAp

yB-yA=m(xB-xA)

d'où :

m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}

Pour déterminer p, il faut terminer la résolution du système en utilisant (1) : y_A=mx_A+p

CQFD

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