La méthode de Simpson

LA METHODE DE SIMPSON

• Introduction :

Très souvent le calcul explicite de l’intégrale, d’une fonction continue sur

 [ a ,b ] dans R, défie par

  [pic 1]

Peut  se révéler très laborieux, ou tout simplement impossible à atteindre. Par conséquent, on fait appel à des méthodes numériques, afin de calculer une approximation de I(f) Dans ces méthodes numériques, la fonction f  est remplacée par une somme finie constituée de sous-intervalles selon :

[pic 2] 

Dans ce type d’évaluation, on calcul forcément une approximation (passage d’une intégrale à une somme) de la vraie valeur. La méthode d’intégration mise en œuvre est dite d’ordre si l’erreur d’intégration :

[pic 3]

Est nulle quand est un polynôme de degré inférieur ou égal à et non nulle pour au moins un polynôme de degré supérieur ou égal à p + 1, soit : [pic 4]

• Dans ce compte rendu de TP Numérique, on va étudier une méthode approximative qu’elle s’appelle La méthode de SIMPSON  pour le calcul des intégrales limitées. Aussi cette méthode permette le calcul des intégrales qui n’ont pas de solutions directes ou analytiques. On peut aussi calculer l’intégrale d’une fonction donnée sous forme tabulaire ou discrète

• Rappel de La méthode:

Cette méthode est basée sur l’interpolation, de chaque intervalle [xk  , xk+1], par un
polynôme de degré deux. Ainsi, la fonction f est substituée par ce polynôme du second
degré qui définit donc un arc de parabole passant par les points d’ordonnées  f (xk) ,
f (xk+1) et f (xk+2). Le schéma numérique de cette méthode est donné par :

[pic 5]

Sur la figure ci-dessous, nous avons écrit la formule de Simpson sur quatre sous intervalles.

Ainsi, chaque sous-intervalle est interpolé par son polynôme de Lagrange de degré deux sur trois nœuds.

[pic 6]

Fig.1. Méthode de Simpson composite représentée sur 4 sous-intervalle

 pour les quatr premiers sous-intervalles on écrira :

[pic 7]

Les nœuds d’interpolation situés aux extrémités sont pondérés en ∆r/6. En revanche, les nœuds centraux sont pondérés en 2(∆r/3) . La méthode de Simpson est d’ordre quatre (O(h4)) et fait mieux que celle du trapèze. Ceci  provient du fait qu’elle pondère plus le point central. L’erreur d’intégration de la méthode de Simpson est majorée par :

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