Corrigé du concours blanc de mathématiques

IUFM Réunion Corrigé du concours blanc de mathématiques n°1 Page 1/4

7 novembre 2007

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Les passages de ce corrigé écrits en italique sont des commentaires qui n’étaient pas attendus de la part des étudiants.

Exercice 1 ( 4 points)

1) Les faces cachées sont en gras dans le tableau :

Face

ABFE

BCGF

CDHG

DAEH

ABCD

EFGH

Motif

hachures

uni

hachures

uni

points

points

2) Pour répondre à cette question, il est implicite :

•

qu’on ne tient pas compte ni du nombre de points de l’original ni du nombre de ses hachures (qui manifestement diffèrent entre la figure n° 1 et les "patrons" proposés) ;

•

qu’on ne tient pas compte ni de l’orientation du pointillage (pointillage parallèlement aux côtés du carré pour la figure n° 1 et parallèlement aux diagonales du carré pour la figure n 2), ni de celle de ses hachures.

Patron n° 1 : oui ! Pour le vérifier, il suffit de nommer les points correctement et de vérifier que les motifs coïncident avec ceux proposés dans l’inventaire de la question 1.

Patron n° 2 : non ! Par repliage mental, on s’aperçoit que ce ne sont pas des faces opposées qui ont même motif mais des faces adjacentes.

Patron n° 3 : oui ! Pour le vérifier, il suffit de nommer les points correctement et de vérifier que les motifs coïncident avec ceux proposés dans l’inventaire de la question 1.

Patron n° 4 : non ! Par repliage mental, on s’aperçoit que les faces hachurées sont effectivement opposées, mais que ce n’est le cas ni des faces pointées ni des faces unies qui sont adjacentes.

3)

(3a) On obtient 3 × 3 × 3 = 33 = 27 petits cubes.

(3b) Le volume du petit cube est le volume du grand cube divisé par le nombre de petits cubes qui composent ce grand cube (le volume est une mesure), donc le volume du petit cube est :

216 cm3 ÷ 27 = 8 cm3

(3c) La longueur d’une arête du petit cube est donnée par la racine cubique de son volume, donc le côté du petit cube mesure 338cm soit 2cm.

De même, la longueur d’une arête du grand cube est égale à 3 fois la longueur précédente soit 6 cm (on peut aussi calculer la racine cubique de 216 cm3).

(3d) Aire du cube : 6 faces de (6 × 6) cm2 soit 216 cm2.

(3e)

Nombre de faces décorées

0

1

2

3

4

5

6

Nombre de petits cubes

1(*)

6(**)

12(***)

8(****)

0

0

0

(*) : le cube du centre ;

(**) : les six petits cubes ayant une face qui coïncide avec le cube du centre ;

(***) : les douze petits cubes ayant seulement un côté (en tant que droite) commun avec ceux (toujours en tant que droite) du grand cube ;

(****) : les huit petits cubes ayant trois côtés (en tant que droite) communs avec ceux (toujours en tant que droite) du grand cube (ou ayant un sommet commun avec ceux du grand cube).

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(3f) Le nombre de petites faces décorées est six (le nombre de faces du grand cube) fois neuf (le nombre de faces décorées sur une face du grand cube), soit 54. On peut retrouver ce résultat en utilisant le tableau de la question précédente : 0 × 1 + 1 × 6 + 2 × 12 + 3 × 8 = 54.

4.

(a) Le nouveau solide est constitué de 27 − 8 = 19 petits cubes. Il a donc un volume de :

19 × 8cm3 = 152 cm3 .

(b) Le nouveau solide a une aire latérale égale à celle du cube car l’action "j’enlève un petit cube en l’un des sommets du grand cube" n’a aucun effet sur l’aire latérale (on remplace l’aire de trois des faces d’un petit cube par l’aire des trois autres faces de ce même petit cube). Il a donc une aire latérale de 216 cm² .

Questions complémentaires (4 points)

1.

Les modalités de la situation proposée qui contraignent les élèves à utiliser le vocabulaire géométrique à connaître à ce niveau sont :

-

le fait de placer les élèves dans une situation de communication ;

-

la contrainte pour le groupe émetteur (qui pose les questions) de ne pas faire référence au nom de l’objet, à sa couleur, à sa place ;

-

la contrainte pour le groupe récepteur de ne faire que des réponses fermées.

Voici quelques exemples de questions qui peuvent être posées :.

• "A-t-il six faces ?", "A-t-il huit sommets ?" Utiliser des propriétés des figures fait également appel au

...