Correction d'exercices de Probabilités

1. Les tirages sont indépendants.

a) p0 = p(aucune noire) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{27}

b) p1 = p(une noire exactement)

Pour cela, on pose : p1 = p(N) avec N = N1\cupN2\cupN3.

N1 : " la seule noire provient de A "

N2 : " la seule noire provient de B "

N3 : " la seule noire provient de C "

Ces trois événements étant incompatibles deux à deux, on obtient :

p1 = p(N1) + p(N2) + p(N3) où p(N1) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{3}, p(N2) = deux exercices type Bac - les probabilités - terminale : image 2×deux exercices type Bac - les probabilités - terminale : image 2×deux exercices type Bac - les probabilités - terminale : image 2, p(N3) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3}.

d'où : p1 = \dfrac{4}{9}.

c) p2 = p(deux noires exactement)

p2 = p(N') avec N' = N'1\cupN'2\cupN'3.

N'1 : " les deux boules noires proviennent de A et B "

N'2 : " les deux boules noires proviennent de B et C "

N'3 : " les deux boules noires proviennent de A et C "

Ces trois événements étant incompatibles deux à deux, on obtient :

p2 = p(N'1)+ p(N'2)+ p(N'3) où p(N'1) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3}, p(N'2) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{3}, p(N'3) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3}.

d'où : p2 = \dfrac{1}{3}.

d) p3 = p(3 boules noires) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{27}.

2. a) X(\omega) = {-1 ; 0 ; 3}.

p(X = 0) = p0 + p2 = \dfrac{13}{27};

p(X = -1) = p1 = \dfrac{4}{9};

p(X = 3) = p3 = \dfrac{2}{27}.

La loi de probabilité de X est :

xi -1 0 3

p(X = xi) \dfrac{4}{9} \dfrac{13}{27} \dfrac{2}{27}

b) E(X) = -1×p(X = -1) + 0×p(X = 0) + 3×p(X = 3) = -\dfrac{2}{9}.

L'espérance de X étant non nulle, le jeu n'est pas équitable.

Comme l'espérance de X est négative, alors le jeu n'est pas favorable pour le joueur.

...