Correction BTS CGO Mathématiques 2011

Exercice 1 :

A. Evénements indépendants, probabilités conditionnelles

1°)
 =
 ∩  =
 ×
  car  et sont indépendants



 = 0,02 × 0,03 = , 

2°)  correspond à : soit le défaut "a" soit le défaut "b" soit les deux défauts donc  =  ∪

 =
 ∪  =
 +
  −
 ∩  = 0,02 + 0,03 − 0,0006 = , .

3°)  est le contraire de  donc :  = 1 −
 = 1 − 0,0494 = , !.

Autre méthode :
 =
̅∩ #  =
̅ ×
 #  = 0,98 × 0,97 = 0,9506

4°)
'( = )'*∩'(

)'(

or  ∩  =  (car dans "être défectueux et avoir les deux défauts", "être

défectueux" est inutile donc cela est équivalent à "avoir les deux défaut" autrement dit  est inclus dans

).



 =





=

0,0006

0,0494

≈ , 



B. Loi binomiale

1°) On a une série de , = 40 prélèvements indépendants, chacun pouvant déboucher sur

deux possibilités : "le sachet est défectueux" (succès) de probabilité - = 0,05 ; et "le sachet n'est pas

défectueux" (échec) de probabilité . = 1 − - = 0,95.

Donc / suit la loi binomiale de paramètres 0 =  et 1 = , !.

2°)
2 = 2 = 345

 × 0, 05 × 0,956 ≈ , 777

3°)
2 ≥ 1 = 1 −
2 = 0 = 1 − 345

5 × 0, 055 × 0,9545 ≈ , 97

!

C. Loi Normale

1°) Soit : = ;<5

6

, : suit la loi normale centrée réduite =0 ; 1.

@ ≥ 104 =
A

@ − 120

8

≥

104 − 120

8

B =
: ≥ −2 = 1 − Π−2 = 1 − D1 − Π2E

= Π2 = , 77

On a utilisé les formules :
: ≥ F = 1 − ΠF et Π−F = 1 − ΠF

2°) Calculons d'abord la probabilité que la masse soit dans l'intervalle G104 ; 136H :

104 ≤ @ ≤ 136 =
A

104 − 120

8

≤

@ − 120

8

≤

136 − 120

8

B =
−2 ≤ : ≤ 2

= 2Π2 − 1 = 2 × 0,9772 − 1 = 0,9544

On a utilisé la formule :
−F ≤ : ≤ F = 2 ΠF − 1.

La probabilité que le sachet soit rejeté est donc : 1 − 0,9544 = , !.

Exercice 2 :

A. Etude d'une fonction

1°) On a lim 0,125t 0

t

e-

®+¥

...