Algèbre

A- Calcul matriciel

A1- Espace vectoriel

1) Définition des espaces vectoriels

Soit E un ensemble de vecteurs et K un corps commutatif.

Un vecteur x de E s'écrit: x= [x1,x2...,xn]T (n composantes définissent x)

E est muni de 2 opérations:

Addition des vecteurs: x et y ∈ E alors x+y ∈ E

Multiplication par un scalaire λ∈ K, y ∈ E alors λy ∈ E

(E, +, .) est alors un espace vectoriel sur K

Exemple d'espace vectoriel: E= Rn de dimension n

Exemple de corps commutatif: K= R (ou C)

2) Opérations sur les vecteurs

21- Addition

x=[xi]T et y=[yi]T, x+y = z = [zi]T avec zi = xi + yi

21- Multiplication par un scalaire

x=[xi]T et λ∈ K, λ x = z = [zi]T avec zi = λxi

3) Produit scalaire, norme et distance

31 Produit scalaire sur E

C'est une application de E sur K définie par:

<x;y > = xi

i =1

n

∑ yi

32- Norme sur E:

x = x; x 1

2

= xi

i =1

n

∑ xi

"

#

$

%

&

'

12

33- Distance sur E

x − y

A2- Application linéaire

1) Définition

Soit E et F deux espaces vectoriels

Soit x ∈ E = Rn et y ∈ F = Rm, K = R

Une application linéaire de E dans F est définie par: x f !!→y = f(x) = Ax , où A est une

matrice de dimension (m*n), A = {aij} i indice de ligne et j indice de colonne, aij∈ R.

Si f(x) est une application linéaire alors

f(λx+µy) =λf(x)+ µf(y).

Exemple: y =

0 1 0

0 0 1

−1 −2 −3

"

#

$

$

%

&

'

'

x1

x2

x3

"

#

$

$

%

&

'

'

=

y1 = 1. x2

y2 = 1.x3

y3 = −1x1 − 2.x2 − 3x3

"

#

$

$

%

&

'

'

2) Somme de matrices

Soient deux applications linéaires f et g:

x!!f

→y = f(x) = Ax

x!!g

→z = g(x) = Bx

Considérons une troisième application h pour laquelle dim(A) = dim(B) =n*n

z, y!h

!→w = h(z, y) = z + y

Donc

x!!→w = Ax + Bx = ( A+ B)x

Somme de matrices: A={aij} et B={bij} alors A+B = C = {cij = aij + bij}

Exemple:

1 0 8

4 −2 7

−5 6 0

"

#

$

$

%

&

'

'

+

0 −2 −6

2 −2 0

1 −3 0

"

#

$

$

%

&

'

'

=

1 −2 2

6 −4 7

−4 3 0

"

#

$

$

%

&

'

'

3) Produit de matrice par un scalaire

A={aij}, λ∈ R alors λΑ

...