Aide en algèbre de classe préparatoire

Je sais, je sais faire! (algŁbre)

Sans gros problŁme ... montrer qu’elle est libre et gØnØratrice.        [pic 1]

I - Polyn mes d’interpolation de Lagrange

Soit n ∈ N et (xk)06k6n ∈ Kn+1.

L’application suivante :

[pic 2]

est un isomorphisme de K - espaces vectoriels.

En e et, ϕ est linØaire et si P ∈ Ker(ϕ), alors pour tout k ∈ [[0,n]], P(xk) = 0 donc P, qui est de degrØ n, possŁde n+1 racines et par consØquent, P = 0Kn[X]. Donc ϕ est injective.

Comme dimK(Kn[X]) = n + 1 = dimK(Kn+1), ϕ est en fait bijective.        [pic 3][pic 4][pic 5]

Proposition. Soit (xk)06k6n ∈ Rn+1 et P ∈ Kn[X]. Alors :

[pic 6]

Par ailleurs, (Li)06i6n est une base de Kn[X] et [pic 7] est la matrice de passage de cette base        la base

canonique de Kn[X].[pic 8]

D’aprŁs ce qui prØcŁde, pour tout (yk)06k6n ∈ Kn+1, il existe un unique polyn me P ∈ Kn[X] tel que pour tout k ∈ [[0,n]], P(xk) = yk.

Donc si pour tout i ∈ [[0,n]] on introduit les[pic 9], on remarque que deg(Li) = n et Li(xk) = δik.

n

Ainsi, si on note P = XyiLi on a deg(P) 6 n et P(xk) = yk.

i=0 D’oø l’Øcriture annoncØe.

D’aprŁs ce qui prØcŁde, tout polyn me de Kn[X] s’Øcrit comme combinaison linØaire des Li donc la famille (Li)06i6n est gØnØratrice de Kn[X]. C’est donc une base puisqu’elle contient n + 1 vecteurs en dimension n + 1.

Pour dØterminer la matrice de passage vers la base canonique, on Øcrit[pic 10] pour tout k ∈ [[0,n]].

II - Polyn me annulateurs, polyn me minimal et nilpotence[pic 11]

Proposition. Dans un espace vectoriel de dimension nie, il existe des polyn mes annulateurs non nuls pour tout endomor-  phisme.        [pic 12]

Si dim(E) = n alors dim(L(E)) = n2. Soit u ∈ L(E).

[pic 13] est liØe car elle contient n2 + 1 vecteurs en dimension n2. Il existe donc (αk)06k6n2 ∈ Kn2+1 non tous nuls

n2 tels que Xαkuk = 0L(E).

k=0

Le polyn me[pic 14] est non nul et annulateur de u.

        k=0        [pic 15]

[pic 16]

Proposition. Pour tout endomorphisme u d’un espace vectoriel E de dimension nie, il existe un unique polyn me Πu tel que :[pic 17]

? Πu ∈ Ann(u)

? Πu 6= 0K[X]

? deg(Π[pic 18] Ann([pic 19]

? Πu est unitaire.

On a alors Ann(u) = Πu.K[X].[pic 20]

Soit u un endomorphisme de E. On sait alors que Ann(u) 6= {0K[X]} puisque tout endomorphisme en dimension nie admet un polyn me annulateur non nul. Ainsi, l’ensemble deg(P)|P ∈ Ann([pic 21] est non vide et admet donc un plus petit

ØlØment notØ d0. Il existe donc Πu ∈ Ann(u) tel que deg(Πu) = d0.

...