Théorème de Pythagore

1) Activité préparatoire

2) Théorème de Pythagore :

Théorème : Dans un triangle ABC rectangle en A, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des 2 autres côtés. AB2 + AC2 = BC2.

Exemple n°1 : ABC est un triangle rectangle en B tel que AB = 4 cm et BC = 3 cm. Calculer AC.

( AC2 = AB2 + BC2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25 = 52. Donc AC = 5 cm) Utilisation de la touche 25 .

Exemple n°2 : ABC est un triangle rectangle en C tel que AB = 7 cm et AC = 4 cm. Calculer BC. (BC2 = AB2 – AC2 = 72 – 42 = 49 – 16 = 33. Donc BC = 33  5,7 ).

A B

D C

I

J

K

L M Q

N

ABCD est un carré. On découpe à chaque « coin », un triangle de mêmes dimensions : AI = BJ = CK = DL = a et AL = IB = JC = KD = b. Alors, en vert, on a un carré de côté IL = IJ = JK = KL = c.

L’aire du carré IJKL est égale à l’aire du carré ABCD moins l’aire des 4 triangles rouges.

( ) a + b 2 – 4 × a×b 2

= c2

( ) a+b ×( ) a+b – 2 × ab = c2 a2 + b2 + 2×ab - 2×ab = c2

D’où : a2 + b2 = c2

A B

C

2/2

3) Réciproque du théorème de Pythagore :

Théorème : ABC est un triangle tel que BC2 = AB2 + AC2, alors ABC est un triangle rectangle en A.

Exemple 1 : AB = 5 ; AC = 13 ; BC = 12, en cm. AB2 + BC2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 ; AC2 = 132 = 169. Donc AB2 + BC2 = AC2. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est un triangle rectangle en B.

Exemple 2 : AB = 3,5 ; AC = 3,5 ; BC = 5, en cm. AB2 + AC2 = 3,52 + 3,52 = 12,25 + 12,25 = 24,5 ; BC2 = 52 = 25. Donc AB2 + AC2  BC2. Si ABC était rectangle, en A, d’après le théorème de Pythagore, on aurait AB2 + AC2 = BC2.C’est faux. Donc ABC n’est pas rectangle en A.

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