Petit vocabulaire

G´en´eralit´es

1 Un peu de vocabulaire

• On doit toujours pr´esenter les objets qui interviennent. On a trois fac¸ons de le faire : – Soit a : signifie qu’on prend un certain a et qu’on travaille avec lui – ∀a : signifie “quelque soit a” ou encore “pour tout a” – ∃a : signifie “il existe au moins un a” (on sait que a existe, mais on ne le connait pas forc´ement pr´ecis´ement. Il peut y en avoir plusieurs) ∃!a : signifie “il existe un unique a” (il y en a un et un seul) • Ensemble des r´eels, intervalles : – R est l’ensemble des r´eels, R∗ = R\{0} est l’ensemble des r´eels priv´e de z´ero. – Les intervalles sont les sous-ensembles de R des types suivants : [a,b] = {x ∈ R, a ≤ x ≤ b} (intervalle ferm´e). ]a,b[= {x ∈ R, a < x < b} (intervalle ouvert). [a,b[= {x ∈ R, a ≤ x < b} et ]a,b] = {x ∈ R, a < x ≤ b} (intervalle semi-ouvert). [a,+∞[= {x ∈ R, a ≤ x} et ]a,+∞[= {x ∈ R, a < x}. ] − ∞,b] = {x ∈ R, x ≤ b} et ] − ∞,b[= {x ∈ R, x < b} avec a et b des r´eels tels que a ≤ b. – x ∈ I signifie “x appartient `a l’intervalle I”. • Fonction : Une fonction r´eelle de la variable r´eelle f : A → B (f de A dans B) est la donn´ee de 3 choses : – Un ensemble de d´epart A inclus dans R – Un ensemble d’arriv´ee B inclus dans R – Un graphe Γ qui est une partie de A×B qui v´erifie ∀x ∈ A, il existe au plus un y ∈ B tel que (x,y) ∈ Γ. On note y = f(x). On dit que y est l’image de x par f et que x est un ant´ec´edent de y par f. Une fonction met en relation certains des ´el´ements de l’ensemble de d´epart avec des ´el´ements de l’ensemble d’arriv´ee.

• Pour x ∈ A, si l’image existe, elle est unique. Cependant, un ´el´ement x de A peut ne pas avoir d’image par f.

• Exemple : f : R −→ R+ x 7−→ x2

y = f(x) = x2 pour x ∈ R quelconque.

f(1) = 1, f(−1) = 1, f(2) = 4. g : R −→ R+ x 7−→ √ x y = g(x) =

√

x n’existe que pour x ≥ 0.

• F(A,B) est l’ensemble des fonctions de A dans B.

1

2 Fonctions polynoˆmiales P : R → R x 7→ P(x) = a0 + a1x + ··· + anxn avec a0, a1, ···, an des r´eels. • P est de degr´e n si an 6= 0 • Rn[X]=ensemble des polynˆomes de degr´e ≤ n • R[X]=ensemble des polynˆomes de degr´e quelconque • Racines d’un polynome : a ∈ R est une racine de P si P(a) = 0. • Factorisation : Tout polynˆome de R[X] s’´ecrit comme un produit de polynˆomes de la forme (x − a), a ∈ R ou (x2 + bx + c) avec (b,c) des r´eels tels que b2 − 4c < 0 et d’une constante. • Exemple : P(X) = 2x4 + 2x3 − 2x2 + 2x − 4 = 2(x − 1)(x + 2)(x2 + 1)

Voir fiche m´ethode 1

3 Ensemble de d´efinition

Le domaine de d´efinition de la fonction f est l’ensemble des ´el´ement de A qui poss`edent une image par f. On note ce domaine Df • Exemples : f : R −→ R+ x 7−→ x2 , Df = ··· g : R −→ R+ x 7−→ √ x , Dg = ··· h : [0,1] −→ R

...