L'ensemble de mandelbrot

Ensemble de mandelbrot

        Après avoir parlé des équations de Lorentz nous pourrons aborder un autre type de chaos dit « Ensemble de Mandelbrot ». Pour resituer le contexte, en 1975 Benoit Mandelbrot a inventé le mot fractal afin de donner le nom a tous les objets qui sont beaucoup trop irrégulier pour être analysé par la géométrie classique. Nous pourrons donner comme exemple de fractale le chou romanesco ou bien la bourse de Wall street. Ces derniers sont des objets autosimilaires que nous pouvons retrouver a l’identique a toute échelle comme mise en abîme.[pic 1]

Mais au milieu de toutes ces fractale on y retrouve un roi incontesté mais pourtant qui régie d’une formule considérablement plus simple.

Soit : Zn+1=Zn^2+c avec c=a+ib

Afin de mieux représenter la formule nous effectuerons un programme sur python dont l’intégralité vous sera fournie en annexe pour une meilleur compréhension.

En fonction du point de départ « c » la suite sera bornée ou non bornée. Afin d’obtenir notre fractale il nous suffira de représenter les points des suites bornées en blanc et les suites non bornée en noir. Nous avons donc obtenu la figure suivante :[pic 2]

Nous pouvons donc voir sur cette fractale des filaments sur l’extérieur. En effet ces dernières représentent les autosimilarités que nous cherchons. Afin d’avoir une meilleur visibilité du phénomène je vous invite regarder cette vidéo « https://www.youtube.com/watch?v=PD2XgQOyCCk&feature=youtu.be »  sur laquelle les calculs on était plus poussé avec de meilleurs logiciels.

Nous pourrons comparer ce phénomène a un autre phénomène naturel, « La fougère ».[pic 3]

En effet nous pouvons dire grâce aux autosimilarités de la plante que ses feuilles représentent des fractales

Les fractales représentent donc un phénomène naturel et mathématique qui au jour d’aujourd’hui reste plutôt inexpliqué. Nous pourrons imaginer dans un futur avec des ordinateur bien plus puissant, la possibilité de comprendre la cause de ces fractales et ainsi augmenté notre compréhension de tout ce qui nous entour et plus particulièrement de la Nature.

[pic 4]

Annexe programme de Mandelbrot

1er étape[pic 5]

[pic 6]

2-ème étape

[pic 7]

3-ème étape

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